Ένας σκώρος έκανε τέσσερεις μικρές τρύπες σε ένα τετραγωνικό χαλί με μήκος πλευράς 275 cm.
Να δείξετε ότι ανεξάρτητα από την θέση των 4 τρυπών μπορούμε πάντα να κόψουμε από το χαλί ένα τετραγωνικό κομμάτι πλευράς 1 μέτρου που θα έχει παραμείνει ανέπαφο από την «φροντίδα» του σκώρου.(Χωρίς τρύπες)
Προτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα
Ορίζονται 5 τετράγωνα πλευράς 1 μέτρου που δεν έχουν κοινά σημεία πάνω στο χαλί όπως φαίνεται στο σχήμα.
Ανεξάρτητα από την θέση των 4 τρυπών που θα κάνει ο σκώρος θα υπάρχει ένα τουλάχιστον τετράγωνο θα έχει παραμείνει ανέπαφο.
https://imgur.com/gallery/kv160
Η διαγώνιος του χαλιού είναι δ1 = 11*ρίζα(2)/4
Οι διαγώνιοι των τεσσάρων τετραγώνων στις γωνίες είναι δ2 = ρίζα(2)
δ1 – 2δ2 = 3ρίζα(2)/4 > 1, άρα “χωράει” το τετράγωνο στο κέντρο.
Στα σημεία των πλευρών του χαλκού που απέχουν 1μ από τις κορυφές του φέρουμε ευθείες κάθετες στις πλευρές. Έτσι το χαλί χωρίζεται σε τέσσερα γωνιακά τετράγωνα πλευράς 1μ και έναν εσωτερικό σταυρό που αποτελείται από ένα κεντρικό τετράγωνο πλευράς 0,75μ και τέσσερα περιφερειακά ορθογώνια διαστάσεων 0,75μΧ1μ.
Το κεντρικό τετράγωνο έχει διαγώνιο 0,75*ρίζα2=1,06..>1, οπότε φέροντας από κάθε κορυφή του κάθετη στη διαγώνιο που καταλήγει σε αυτό σχηματίζεται ένα τετράγωνο πλευράς μεγαλύτερης από 1μ και τις τέσσερις κορυφές του στο εσωτερικό των περιφερειακών ορθογωνίων του σταυρού.
Έτσι έχουμε στο χαλί πέντε μη αλληλοκαλυπτόμενα τετράγωνα πλευράς τουλάχιστον 1μ. Οι τέσσερις τρύπες του σκώρου μπορούν να χαλάσουν το πολύ τέσσερα από αυτά, οπότε πάντα θα υπάρχει το τετράγωνο που ζητάμε.