Να βρεθεί διψήφιος αριθμός, έτσι ώστε όταν τα ψηφία του αθροίζονται, το αποτέλεσμα τους να είναι το ήμισυ του γινομένου των ψηφίων του διψήφιου αριθμού.
Διευκρίνιση:
Βρείτε τους διψήφιους αριθμούς που ικανοποιούν τα δεδομένα και να δικαιολογήσετε πλήρως την απάντησή σας.
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
36, 44, 63
Έστω αβ ο δηψήφιος (α, β φυσικοί με 0<=α, β <10).
α+β =α*β/2
2α+2β = α*β
2β = α*β – 2α
2β = α*(β – 2)
α = 2β/(β – 2) με 2<β<10
● αν β=3, τότε α =6 και ο δηψήφιος είναι ο 63
● αν β=4, τότε α =4 και ο δηψήφιος είναι ο 44
● αν β=5, τότε α =10/3 που δεν είναι φυσικός
● αν β=6, τότε α =3 και ο δηψήφιος είναι ο 36
● αν β=7, τότε α =14/5 που δεν είναι φυσικός
● αν β=8, τότε α =8/3 που δεν είναι φυσικός
● αν β=9, τότε α =18/7 που δεν είναι φυσικός
Αν τα ψηφία του διψήφιου είναι τα α και β, πρέπει να είναι α+β=αβ/2.
Η εξίσωση έχει θετικές ακέραιες λύσεις (α,β) = (3,6), (4,4), (6,3) και την καταχρηστική (0,0) οπότε οι ζητούμενοι διψήφιοι είναι οι 36, 44, 63.
Αν x,y ψηφία δεκάδων, μονάδων τότε 2x+2y-xy-4=-4, (x-2)(y-2)=4, x-2=4 και y-2=1 ή x-2=2 και y-2=2 ή x-2=1 και y-2=4 άρα 63, 44, 36.
Αν χψ μια λυση τοτε και ο ψχ ειναι λυση.
Ειναι: χ+ψ=χψ/2 που σημαινει οτι ενας τουλαχιστον απο τους χ,ψ ειναι αρτιος. Εστω: χ=2ν τοτε:
2ν+ψ=2νψ/2=νψ
2ν=νψ-ψ=(ν-1)ψ
ψ=2ν/(ν-1)
Αφου ο (ν-1) δεν διαιρει τον ν, θα πρεπει: (ν-1)/2 αρα:
ν-1=1–> ν=2 ή ν-1=2–> ν=3
Για ν=2: χ=2ν=2*2=4 και ψ=2ν/(ν-1)=2*2/(2-1)=4 οποτε: χψ=44
Για ν=3: χ=2ν=2*3=6 και ψ=2ν/(ν-1)=2*3/(3-1)=6/2=3 οποτε: χψ=63 και ψχ=36.