Τα σχήματα 1,2,3,4 περιλαμβάνουν αντίστοιχα 1,5,13,25 μοναδιαία τετράγωνα .
Πόσα μοναδιαία τετράγωνα θα έχει το σχήμα 100.
Προτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα
Τα σχήματα 1,2,3,4 περιλαμβάνουν αντίστοιχα 1,5,13,25 μοναδιαία τετράγωνα .
Πόσα μοναδιαία τετράγωνα θα έχει το σχήμα 100.
Προτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα
100^2 + 99^2 = 19.801
Αν ν είναι ο αριθμός του σχήματος, το πλήθος Τ(ν) των μοναδιαίων τετραγώνων που περιέχει ισούται με 2 φορές το άθροισμα Α των ν-1 μικρότερων περιττών φυσικών αριθμών συν 2ν-1. Έχουμε:
Α=(ν-1)^2 => Τ(ν)=2(ν-1)^2+2ν-1 =>
Τ(ν)=2ν(ν-1)+1
Για ν=100 => Τ(100)=2*100*99+1 = 19801
100*100+99*99
2×2+1×1=5
3×3+2×2=13
4×4+3×3=25
5×5+4×4=41………
…………….
100×100+99×99=
=19801
Το 100ο σχήμα θα έχει 19.801 μοναδιαία τετράγωνα.
19801
Kάθε σχήμα ολόκληρο έχει (2ν-1)^2 τετράγωνα, όπου ν ο αύξων αριθμός του σχήματος. Του λείπουν ((2ν-1)^2-1)/2 δηλαδή τα μισά από το πλήθος των τετραγώνων ελαττωμένα κατά 1. Δηλαδή έχει 4ν^2-4ν+1-(4ν^2-4ν)/2=2ν^2-2ν+1=ν^2+(ν-1)^2 τετράγωνα. Άρα το 100ο θα έχει: 100^2+99^2=10.000+(100-1)^2=20.001-200=19.801 τετράγωνα.