Ο Μένιος ,η μαϊμού της γειτονιάς ανακάλυψε σε ένα μεγάλο καλάθι με μπανάνες. Γευμάτιζε πλούσια επί μια εβδομάδα. Την πρώτη μέρα έφαγε τις μισές μπανάνες και το μισό μιας μπανάνας. Την δεύτερη μέρα έφαγε τις μισές από τις υπόλοιπες ολόκληρες μπανάνες συν το μισό μιας μπανάνας. Καθεμιά από τις επόμενες ημέρες έκανε ακριβώς το ίδιο τρώγοντας τις μισές από το πλήθος των μπανανών που απέμεναν συν το μισό μιας μπανάνας. Μετά το έβδομο γεύμα είχαν καταναλωθεί όλες οι μπανάνες.Πόσες ήταν αρχικά οι μπανάνες στο καλάθι;
(Λέγοντας τις μισές από τις μπανάνες εννοούμε το μισό του πλήθους των μπανανών)
Προτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα
127 μπανάνες
Σκεφτόμαστε ανάποδα. Προσθέτουμε 1/2 μπανάνα και διπλασιάζουμε.
Πριν το 7ο γεύμα : (0 + 1/2)*2 = 1 μπανάνα
Πριν το 6ο γεύμα : (1 + 1/2)*2 = 3 μπανάνες
Πριν το 5ο γεύμα : (3 + 1/2)*2 = 7 μπανάνες
Πριν το 4ο γεύμα : (7 + 1/2)*2 = 15 μπανάνες
Πριν το 3ο γεύμα : (15 + 1/2)*2 = 31 μπανάνες
Πριν το 2ο γεύμα : (31 + 1/2)*2 = 63 μπανάνες
Πριν το 1ο γεύμα : (63 + 1/2)*2 = 127 μπανάνες
Δεδομένου ότι στο τέλος της 7ης μέρας περίσσεψαν 0 μπανάνες, η μισή επί πλέον μπανάνα που έφαγε την 7η μέρα πρέπει να ήταν ίση με τις μισές από όσες περίσσεψαν στο τέλος της 6ης μέρας. Άρα στο τέλος της 6ης μέρας περίσσεψε 2(0+1/2)=1 μπανάνα.
Η 1 μπανάνα που περίσσεψε στο τέλος της 6ης μέρας πρέπει να ήταν ίση με τις μισές πλην μισή από όσες περίσσεψαν στο τέλος της 5ης μέρας. Άρα στο τέλος της 5ης μέρας περίσσεψαν 2(1+1/2)=3 μπανάνες.
Ομοίως, στο τέλος της 4ης μέρας περίσσεψαν 2(3+1/2)=7, στο τέλος της 3ης 2(7+1/2)=15, στο τέλος της 2ης 2(15+1/2)=31, στο τέλος της 1ης 2(31+1/2)=63 και στην αρχή της 1ης 2(63+1/2)=127 μπανάνες.
Αρχικά οι μπανάνες στο καλάθι ήταν 127. Το σύνολο των μοπανανών αποτελούν μία αθροιστική φθίνουσα σειρά της δυνάμεως του δύο:
2^6 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2*1 + 2^0 = 127
Σε λιγο θ’ αναρτήσω και τη λύση αναλυτικά.
Αν x αρχικά την 1η μέρα φαγώθηκαν (x+1)/2 και έμειναν (x-1)/2, τη 2η έμειναν (x-3)/4, την 3η (x-7)/8, την 4η (x-15)/16,την 5η (x-31)/32,την 6η (x-63)/64 και την 7η (x-127)/128=0 άρα x=127.
Οι μπανάνες που βρήκε ο Μένιος στο καλάθι ήταν 127. Έστω «x» ο αριθμός των μπανανών που ήταν μέσα στο καλάθι. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
1η Ημέρα:
(x/2)+(1/2)=(x+1)/2 —-> (x+1)/(2^1) μπανάνες.
2η Ημέρα:
(1/2)*[x-(x+1)/2]+(1/2)=(1/2)*(2x-x-1/2)+(1/2)=(x-1)/2+(1/2)=(x-1+2)/4 —->
(x+1/(2^2) μπανάνες.
3η Ημέρα:
(1/2)*[x-[(x+1)/2-(x+1)/4]+(1/2)]=(1/2)*[4x-2*(x+1)-(x+1/4]+(1/2)= —->
=(1/2)*(4x-2x-2-x-1)/4+(1/2)=(1/2)*(4x-3x-3)/4+(1/2)=(1/2)*(x-3)/4+(1/2)= —->
=(x-3)/8+(1/2)=(x-3+4)/8 —-> (x+1)(2^3) μπανάνες.
4η Ημέρα:
(1/2)*[x-(x+1)/2-(x+1)/4-(x+1)/8]+(1/2)=(1/2)*[8x-4*(x+1)-2*(x+1)]/8+(1/2)= —->
=(1/2)*(8x-4x-4-2x-2-x-1)/8+(1/2)=(1/2)*[8x-7x-7)/8+(1/2)=(1/2)*(x-7)/8+(1/2)= ->
=(x-7)/16+(1/2)= (x-7+8)/16 —–> (x+1)/2^4 μπανάνες.
5η Ημέρα:
(1/2)*[x-(x+1)/2-(x+1)/4-(x+1)/8-(x+1)/16]+)1/2)= —->
=(1/2)*[16x-8*(x+1)-4*(x+1)-2*(x+1)-(x+1)]/16+(1/2)= —->
=(1/2)*(16x-8x-8-4x-4-2x-2-x-1)/16+(1/2)= —->
=(1/2)*(16x-15x-15)/16+(1/2)=(1/2)*(x-15)/16+(1/2)=(x-15)/32+(1/2)= —–>
=(x-15+16)/32 —->(x+1)/(2^5) μπανάνες.
6η Ημέρα:
(1/2)*[χ-(x+1)/2-(x+1)/4-(x+1)/8-(x+1)/16-(x+1)/32]+(1/2)= —->
=(1/2)[32x-16*(x+1)-8*(x+1)-4*(x+1)-2*(x+1)-(x+1)]/32+(1/2)= —->
=(1/2)(32x-16x-16-8x-8-4x-4-2x-2-x-1)/32+(1/2)= —–>
=(1/2)*(32x-31x-31)/32+(1/2)=(1/2)*(x-31)/32+(1/2)= (x-31)/64+(1/2)= —–>
=(x-31+32)/64 —–>(x+1)/(2^6) μπανάνες.
7η Ημέρα:
(1/2)*[x-(x+1)/2-(x+1)/4-(x+1)/8-(x+1)/16-(x+1)/32-(x+1)/64+(1/2)= —->
=(1/2)*(64x-32*(x+1)-16*(x+1)-8*(x+1)-4*(x+1)-2*(x+1)-(x+1)]/64+(1/2)= —->
=(1/2)*(64x-32x-32-16x-16-8x-8-4x-4-2x-2-x-1)/64+(1/2)= —–>
=(1/2)*(64x-63x-63)/64+(1/2)=(1/2)*(x-63)/64+(1/2)=(x-63)/128+(1/2)= —->
=(x-63+64)/128 —->(x+1)/(2^7) μπανάνες.
Από τις ανωτέρω ημερήσιες καταναλώσεις μπανανών προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση:
(x+1)/2+(x+1)/4+(x+1)/8+(x+1)/16+(x+1)/32+(x+1)/64+(x+1)/128=x
Εξάγουμε τον κοινό παράγοντα (χ+1) κι’ έχουμε:
(x+1)*(1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=x ——>
x/(x+1)= (1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128
Αναγάγουμε τα κλάσματα του δευτέρου μέλους της εξίσωσης σε ομώνυμα και
αθροίζουμε τους όρους της γεωμετρικής προόδου:
x/(x+1)= (1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128 —–>
x/(x+1)=(64+32+16+8+4+2+1)/128 —–> x/(x+1)=127/128 —->
128x=127*(x+1) —-> 128x=127x+127 —–> 128x-127x=127 —-> x=127 μπανάνες.
Επαλήθευση:
(x+1)/2+(x+1)/4+(x+1)/8+(x+1)/16+(x+1)/32+(x+1)/64+(x+1)/128=x —->
(127+1)/2+(127+1)/4+(127+1)/8+(127+1)16+(127+1)/32+(127+1)/64+(127+1)/128=127 —->
128/2+128/4+128/8+128/16+128/32+128/64+128/128=127 —–>
64+32+16+8+4+2+1 = 127 μήλα ο.ε.δ.
Οι ανωτέρω ημερήσιες καταναλώσεις μπανανών, από την πρώτη ημέρα έως την έβδομη ημέρα, αποτελούν μία φθίνουσα σειρά της δυνάμεως του δύο:
2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^0=127.