Ρίχνουμε ένα κέρμα και φέρνουμε “γράμματα”, το ξαναρίχνουμε και φέρνουμε πάλι “γράμματα”, και ξανά “γράμματα” και ξανά τα ίδια.
Αυτό επαναλαμβάνεται 500 φορές.
Τη στιγμή αυτή μας ζητάνε να ποντάρουμε 100 ευρώ.
Τι είναι προτιμότερο να ποντάρουμε, κορώνα ή γράμματα;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Φαίνεται ότι δεν είναι αμερόληπτο, αφού δείχνει να μην εφαρμόζεται (αρχικά τουλάχιστον) ο νόμος των μεγάλων αριθμών. Άρα προτιμότερο είναι να ποντάρουμε “γράμματα”.
1/2 η πιθανότητα για “κεφαλή” και 1/2 για γράμματα
Μια πολύ ωραία και εμπεριστατωμένη λύση από τον Γ. Ριζόπουλο!!
Η κάθε ρίψη ενός νομίσματος είναι ανεξάρτητο πιθανοτικά γεγονός και “δεν έχει μνήμη”. Οπότε σε ένα τίμιο νόμισμα (p(κορ.)=p(γραμ.)=0,5) θα ήταν αδιάφορο πού να ποντάρουμε. Αλλά η πιθανότητα να συμβεί σε ένα τίμιο νόμισμα να φέρει 500 σερί γράμματα είναι 0,5^500=3,055 *10^(-151) , αρκετά μικρότερη από την πιθανότητα αύριο το πρωί ο ήλιος να ανατείλει από τη δύση. Άρα, το νόμισμα είναι ΠΙΘΑΝΟΤΑΤΑ πειραγμένο-μη τίμιο. Άρα ποντάρουμε στα γράμματα.
H αιτιολόγησή μου δεν ήταν και ό,τι καλύτερο. Μπορεί κάποιος (και θα έχει δίκιο) να παρατηρήσει ότι ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ ΣΥΓΚΕΚΡΙΜΕΝΗ κατάσταση ΚΓΓΚΓΚ…Κ (ν=500) έχει πιθανότητα 3,055*10^(-151) και όχι μόνο η ΓΓΓ..Γ (500 γράμματα).
Η αιτιολόγηση βρίσκεται στο “Θεώρημα των μεγάλων αριθμών” του Μπερνούλι και ότι η συγκεκριμένη κατανομή δίνει πρακτικά τιμή ΕΚΤΟΣ καμπύλης κανονικής κατανομής (που ισχύει για κάθε δοκιμή Μπερνούλι διακριτών μεταβλητών Μ). Ακόμη και ένα αποτέλεσμα πχ 350 Γ και 150 Κ δίνει σε ένα επίπεδο σημαντικότητας (εμπιστοσύνης)99,9% περίπου ΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ότι το νόμισμα έχει “προτίμηση” στα γράμματα. Στην περίπτωσή μας το διάστημα εμπιστοσύνης είναι της τάξης 99,9999999999999999…99% (58 9άρια) .
H λάθος αιτιολόγηση που έκανα αρχικά(σε μια έννοια μάλιστα που μου είναι απολύτως οικεία..) είναι χαρακτηριστικό σφάλμα που γίνεται συχνά στις πιθανότητες και αξίζει να προσεχθεί. Είναι η ίδιας φύση παρανόηση που γίνεται με το να πούμε ας πούμε “‘σ’ ένα χαρτοπαίγνιο η πιθανότητα να μοιραστού τα χαρτιά και να πάρουν ο κάθε παίκτης μεταξύ τεσσάρων, όλες τις κούπες, όλα τα σπαθιά,.κ.λ.π αντίστοιχα. Πιθανότητα απειροελάχιστη αλλά ΑΚΡΙΒΩΣ Η ΙΔΙΑ με το να πάρουν ΟΠΟΙΑΔΗΠΟΤΕ ΑΛΛΗ χαρτωσιά!
Το θέμα προσφέρεται για εμβάθυνση και άρση παρανοήσεων πολύ συνηθισμένων.
Ούτε το “φυσικό” συμπέρασμα είναι τόσο φυσικό και εύκολο ,ειδικά στις Πιθανότητες και τη Στατιστική. Στα Μαθηματικά, δυστυχώς ή ευτυχώς, δεν υπάρχει “ολίγον έγκυος”. Υπάρχει σωστό και λάθος. Και η εξήγηση “Η πιθανότητα να έρθουν 500 σερί γράμματα είναι απειροελάχιστη” είναι απλά και ξεκάθαρα ΛΑΘΟΣ. Η εξήγηση (όπως λέω και στο προηγούμενο σχόλιο) είναι ότι το αποτέλεσμα αντιβαίνει την ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ, σύμφωνα με την οποία , με την αύξηση του αριθμού των φορών που επαναλαμβάνουμε ένα πείραμα τύχης η ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ καθενός αποτελέσματος προσεγγίζει όλο και περισσότερο μια ορισμένη “κανονική” τιμή . Αυτό είναι ουσιαστικά με “λόγια” το θεμελιώδες “Θεώρημα μεγάλων αριθμών” του Μπερνούλι και αυτό (ΚΑΙ ΟΧΙ η μικρή πιθανότητα)εξηγεί γιατί είμαστε ΣΧΕΔΟΝ ΑΠΟΛΥΤΑ βέβαιοι(πρακτικά ΒΕΒΑΙΟΙ) ότι το νόμισμα είναι κάλπικο. Οποιαδήποτε σειρά 500 ρίψεων ,ακόμη και η πιο κοντινή στη θεωρητική (250Γ ,250Κ) έχει την ίδια πιθανότητα, αλλά η ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ εμφάνισης είναι το κλειδί.
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.gr/2011/04/blog-post_6675.html