Πέρυσι τέτοια μέρα η ηλικία μου (σε ακέραιο αριθμό ετών) ήταν τέλειο τετράγωνο να δείξετε ότι στα δίπλα μου χρόνια από σήμερα η ηλικία μου θα είναι άθροισμα δυο τέλειων τετραγώνων.
Έστω ν^2 η ηλικία πέρυσι
Φέτος είναι ν^2+1
Στα διπλά χρόνισ θα είναι 2ν^2 + 2 = (ν^2+2ν+1)+(ν^2-2ν+1) = (ν+1)^2 + (ν-1)^2
Θανάσης Παπαδημητρίου
Αν η σημερινή μου ηλικία είναι η, η περυσινή μου ηλικία ήταν η-1 = κ^2 => η = κ^2+1 και στα διπλά μου χρόνια από σήμερα η ηλικία μου θα είναι: 2η = 2κ^2+2 = (κ^2+2κ+1)+(κ^2-2κ+1) = (κ+1)^2+(κ-1)^2.
ΚΔ
Αν πέρσι ήμουν x ετών, τότε x=ω^2, ω φυσικός. Φέτος είμαι x+1 ετών και σε διπλάσια χρόνια από σήμερα θα είμαι (;) 2(x+1) ετών. Τότε 2(ω^2+1)=2ω^2+2=(ω+1)^2+(ω-1)^2, που είναι άθροισμα 2 τέλειων τετραγώνων.
voulagx
Αν χ η ηλικία τότε: χ-1=κ^2 => χ=κ^2+1 και 2χ=α^2+β^2 =>
2*(κ^2+1)= α^2+β^2 (1)
Διακρινουμε δυο περιπτωσεις:
α) Ο κ ειναι περιττος: κ=2ν+1 και απο την (1) εχουμε:
2*(κ^2+1)=2*((2ν+1)^2+1)=2(4ν^2+4ν+2)=4(2ν^2+2ν+1)=4(ν^2+(ν^2+2ν+1))=
=4ν^2+4(ν+1)^2=(2ν)^2+(2(ν+1))^2
αρα α=2ν και β=2(ν+1)
β) Ο κ ειναι αρτιος: κ=2ν και απο την (1) :
2*(κ^2+1)=2*(4ν^2+1)=8ν^2+2=(4ν^2+1+2ν)+(4ν^2+1-2ν)=(2ν+1)^2+(2ν-1)^2
αρα α=2ν+1 και β=2ν-1
Έστω ν^2 η ηλικία πέρυσι
Φέτος είναι ν^2+1
Στα διπλά χρόνισ θα είναι 2ν^2 + 2 = (ν^2+2ν+1)+(ν^2-2ν+1) = (ν+1)^2 + (ν-1)^2
Αν η σημερινή μου ηλικία είναι η, η περυσινή μου ηλικία ήταν η-1 = κ^2 => η = κ^2+1 και στα διπλά μου χρόνια από σήμερα η ηλικία μου θα είναι: 2η = 2κ^2+2 = (κ^2+2κ+1)+(κ^2-2κ+1) = (κ+1)^2+(κ-1)^2.
Αν πέρσι ήμουν x ετών, τότε x=ω^2, ω φυσικός. Φέτος είμαι x+1 ετών και σε διπλάσια χρόνια από σήμερα θα είμαι (;) 2(x+1) ετών. Τότε 2(ω^2+1)=2ω^2+2=(ω+1)^2+(ω-1)^2, που είναι άθροισμα 2 τέλειων τετραγώνων.
Αν χ η ηλικία τότε: χ-1=κ^2 => χ=κ^2+1 και 2χ=α^2+β^2 =>
2*(κ^2+1)= α^2+β^2 (1)
Διακρινουμε δυο περιπτωσεις:
α) Ο κ ειναι περιττος: κ=2ν+1 και απο την (1) εχουμε:
2*(κ^2+1)=2*((2ν+1)^2+1)=2(4ν^2+4ν+2)=4(2ν^2+2ν+1)=4(ν^2+(ν^2+2ν+1))=
=4ν^2+4(ν+1)^2=(2ν)^2+(2(ν+1))^2
αρα α=2ν και β=2(ν+1)
β) Ο κ ειναι αρτιος: κ=2ν και απο την (1) :
2*(κ^2+1)=2*(4ν^2+1)=8ν^2+2=(4ν^2+1+2ν)+(4ν^2+1-2ν)=(2ν+1)^2+(2ν-1)^2
αρα α=2ν+1 και β=2ν-1