Στα βάθη του Λοξικιστάν ανακαλύφθηκε από τον αρχαιολόγο Αλέκο μια συλλογή από σπάνια αγαλματίδια.
Eνα σετ ηλικίας 1000 ετών που αποτελείται από τουλάχιστον δυο αγαλματίδια με διαφορετικά βάρη σε γραμμάρια ανά δυο και έχει την ιδιότητα:
για κάθε ζεύγος αγαλματιδίων του σετ ,μπορούμε πάντα να επιλέξουμε ένα πλήθος αγαλματιδίων από τα υπόλοιπα έτσι ώστε το συνολικό τους βάρος να ισούται με το βάρους του ζεύγους .
Ποιο είναι ο ελάχιστος αριθμός αγαλματίδιων που έχει το σετ;
Προτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα
Το ελάχιστο πλήθος είναι 6.
Έστω ότι το πλήθος είναι 5
Χ1<χ2<χ3<χ4<χ5
Χ4+χ5=χ1+χ2+χ3 όμως χ1+χ2=χ3 ή χ4 ή χ5
Σε κάθε περίπτωση καταλήγουμε σε άτοπο.
Μια λύση
2,4,5,6,7,8
2+4=6
2+5=7
2+6=8
2+7=4+5
2+8=4+6
4+7=5+6
4+8=5+7
5+8=6+7
6+8=2+5+7
7+8=4+5+6
Τα αγαλματίδια είναι περισσότερα από τέσσερα, αλλιώς θα έπρεπε τα δύο βαρύτερα να έχουν άθροισμα βαρών όσο και δύο το πολύ ελαφρύτερά τους, άτοπο.
Ας υποθέσουμε ότι είναι πέντε, με βάρη σε αύξουσα σειρά από β1 έως β5. Στην περίπτωση αυτή, θα είχαμε αναγκαστικά:
β4+β5=β1+β2+β3 => β1+β2=β4+β5-β3
Αλλά το άθροισμα β1+β2 των δύο μικρότερων βαρών δεν μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο ή περισσότερων μεγαλύτερών τους βαρών και θα έπρεπε να είναι ίσο με ένα μόνο μεγαλύτερο βάρος, άρα θα έπρεπε να ισχύει ένα από τα εξής τρία:
1) β4+β5-β3=β3 => β4+β5=2*β3, άτοπο
2) β4+β5-β3=β4 => β5=β3, άτοπο
3) β4+β5-β3=β5 => β4=β3, άτοπο
Επομένως, τα αγαλματίδια είναι έξι ή περισσότερα. Έξι μπορούν να είναι, με βάρη π.χ. 3,4,5,6,7,8