Για να βάψω το φράκτη του σπιτιού μου αγόρασα 15 κιλά χρώμα (λευκό και μαύρο) και πλήρωσα 18,4 ευρώ.
Το λευκό χρώμα κοστίζει-το κιλό – 10 λεπτά λιγότερο από το μαύρο και η τιμή εκάστου είχε ένα δεκαδικό ψηφίο.
Τα δοχεία των δυο χρωμάτων περιείχαν ποσότητες που ήταν πολλαπλάσια του κιλού.
Πόσα κιλά χρώμα αγόρασα από κάθε χρώμα;
Προτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα
Αγόρασες 4 κιλά λευκό και 11 κιλά μαύρο
Έστω x τα κιλά λευκού χρώματος και y/10 η τιμή που κοστίζει το 1 κιλό λευκού χρώματος (x, y ακέραιοι)
x*y/10 + (15-x)*(y-1)/10 = 18,4
x*y + (15-x)*(y-1) = 184
x*y + 15y – 15 – x*y + x = 184
x + 15y = 199
Είναι 199 = 4mod15, άρα και x = 4mod15, με 0 < x < 15
Άρα x = 4 και y = 13
Επομένως αγόρασες 4 κιλά λευκό με 1,3 ευρώ το κιλό, και 11 κιλά μαύρο με 1,2 ευρώ το κιλό
Επαλήθευση : 4*1,3 + 11*1,2 = 5,2 + 13,2 = 18,4
Aν x κ. μαύρο, y κ. άσπρο και α € η τιμή του κ. του άσπρου, α+0,1 € η τιμή του κ. του μαύρου. Τότε y*α+x*(α+0,1)=18,4 κι επειδή x+y=15 θα είναι 15*α+0,1*x=18,4, 15*10*α+x=184, 15*ω+x=184, όπου ω=10*α. Η εξίσωση αυτή (διοφαντική) με τον περιορισμό 0<x<15, έχει μόνη λύση x=4, ω=12, άρα α=1,2 και y=11.
Η μέση τιμή που πλήρωσα ήταν 18,4/15=1,2266.. €/κιλό, άρα η τιμή του λευκού ήταν 1,2 και του μαύρου 1,3 €/κιλό. Αν αγόραζα μόνο λευκό θα πλήρωνα 15×1,2=18€, δηλαδή 0,4€ λιγότερα, άρα αγόρασα:
0,4/0,1=4 κιλά μαύρο και
15-4=11 κιλά λευκό.