Υπάρχει ένας αριθμός τέτοιος, ώστε εάν δύο φορές προστεθεί σ’ αυτόν η τετραγωνική του ρίζα και εάν σ’ αυτό το άθροισμα προστεθεί δύο φορές η τετραγωνική του ρίζα, δίνει ως αποτέλεσμα τον αριθμό 10.
Βρείτε τον αριθμό.
Υπόδειξη:
Αντιμετωπίστε το με δύο βήματα, αρχίζοντας από το τελικό άθροισμα. Έστω ότι αυτό είναι «x^2», ώστε να μπορέσετε εύκολα να βρείτε την τετραγωνική του ρίζα. Το τετράγωνο της λύσης θα είναι το πρώτο ποσό.
Πηγή:
Από το βιβλίο του Ιταλού μαθηματικού Girolamo(Hieronymus) Gardano (1501-1576) με τίτλο «Practica Arithmeticae et Mensurandi Singularis – Πρακτική Αριθμητική και Επιμέρους Μετρήσεις», 1539.
προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr
[sqrt(sqrt(11)) – 1]^2
18-4*sqrt(14)
@Μάνος Κοθρής
Μάνο μπορεις να γράψεις αναλυτικά τη λύση;
Έστω x o ζητούμενος αριθμός
Η εξίσωση είναι x + 2*sqrt(x) + 2*sqrt[ x + 2*sqrt(x) ] = 10
Θέτω sqrt[ x + 2*sqrt(x) ] = ω > 0
Η εξίσωση γίνεται ω^2 + 2ω – 10 = 0
Δ = 44
ω1 = -1 + sqrt(11) > 0 (δεκτή)
ω2 = -1 – sqrt(11) 0
Η εξίσωση γίνεται z^2 + 2z -12 + 2*sqrt(11) = 0
Δ = 52 – 8*sqrt(11)
z1 = -1 + sqrt[ 13 – 2*sqrt(11) ] > 0 (δεκτή)
z2 = -1 – sqrt[ 13 – 2*sqrt(11) ] < 0 (απορρίπτεται)
άρα z = -1 + sqrt[ 13 – 2*sqrt(11) ]
sqrt(x) = -1 + sqrt[ 13 – 2*sqrt(11) ]
x = [ -1 + sqrt[ 13 – 2*sqrt(11) ] ]^2
x = 14 – 2*sqrt(11) – 2*sqrt[ 13 – 2*sqrt(11) ]
Επομένως ο ζητούμενος αριθμός είναι ο
14 – 2*sqrt(11) – 2*sqrt[13 – 2*sqrt(11)] = 2,32027 περίπου
Λάθος απάντηση. Η σωστή λύση αναλυτικά παρακάτω.