Ένας πατέρας έδωσε στους τρεις γιούς του 90 αυγά για να τα πουλήσουν στη λαϊκή αγορά. Στον μεγαλύτερο του γιό έδωσε 50 αυγά.
Στον μεσαίο του γιο έδωσε 30 αυγά.
Στον μικρότερο του γιο έδωσε 10 αυγά.
Το πρωί ξεκίνησαν να τα πωλούν ακριβά και πούλησαν λίγα αυγά, οπότε το μεσημέρι αποφάσισαν να τα πουλήσουν σε τιμή προσφοράς. Τελικά εισέπραξε ο καθένας από 10€.
Πόσα αυγά πούλησε ο καθένας το πρωί και πόσα το μεσημέρι και μετά;
Ποια ήταν η τιμή των αυγών το πρωί και ποια μετά το μεσημέρι;
προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr
Πρωί: μεγάλος 5, μεσαίος 7 και μικρός 9
Μετά το μεσημέρι : μεγάλος 45, μεσαίος 23 και μικρός 1
Τιμή αβγών το πρωί 1,1 ευρώ το ένα και μετά το μεσημέρι 0,1 ευρώ
Βλέπε εδώ πλήρη λύση:
https://imgur.com/a/qwyIrAK
Καρλο, η λυση που δινεις δεν συναδει με την διατυπωση του προβληματος. Πουθενα δεν λεει οτι οι τιμες πωλησης ω,ψ της εξισωσης: ω=(30-12ψ)/6 ειναι ακεραιοι αριθμοι.
Το προβλημα ειναι παρομοιο με αυτο εδω:
http://omathimatikos.gr/%CE%BF-%CE%B3%CF%81%CE%AF%CF%86%CE%BF%CF%82-%CF%84%CE%B7%CF%82-%CE%B7%CE%BC%CE%AD%CF%81%CE%B1%CF%82-%CE%AD%CE%BD%CE%B1-%CF%80%CE%B1%CE%BB%CE%B9%CF%8C-%CF%81%CF%8E%CF%83%CE%B9%CE%BA%CE%BF-%CF%80/
Η σωστη λυση ειναι αυτη που δινει ο κ.Κοθρης.
Συμπληρωματικα στο προηγουμενο σχολιο μου για τον Καρλο:
Εκτος αυτου, το πρωΐ πουλησαν με 1 ευρω την εφταδα, δηλ. (1/7) Ευρω/κοτοπουλο, και το απογευμα με τιμη 3 Ευρω/κοτοπουλο. Ε, αυτο δεν το λες «τιμη προσφορας».
Εστω χ,ψ,ω τα κοτοπουλα που πουλησαν το πρωΐ οι τρεις αδελφοί αντιστοιχα, οπου χ,ψ,ω ακεραιοι θετικοι. Αν α λεπτα η πρωινη τιμη πωλησης των κοτοπουλων και β λεπτα η απογευματινη, οπου α,β ακεραιοι με α>β, τοτε συμφωνα με τα δεδομενα του προβληματος:
χα+(10-χ)β=1000 ή (α-β)χ+10β=1000 (1)
ψα+(30-ψ)β=1000 ή (α-β)ψ +30β=1000 (2)
ωα+(50-ω)β=1000 ή (α-β)ω+50ω=1000 (3)
Αφαιρουμε ανα δυο κατα μελη τις παραπανω εξισωσεις:
(1)-(2): (χ-ψ)(α-β)=20β>0 (Α) αρα: χ>ψ
(2)-(3): (ψ-ω)(α-β)=20β>0 (Β) αρα: ψ>ω
(1)-(3): (χ-ω)(α-β)=40β (Γ)
Συνεπως: 10>χ>ψ>ω (4)
Διαιρουμε κατα μελη ανα δυο τις παραπανω εξισωσεις:
(Α)/(Β): (χ-ψ)/(ψ-ω)=1
(Α)/(Γ): (χ-ψ)/(χ-ω)=1/2
(Β)/(Γ): (ψ-ω)/(χ-ω)=1/2
Οι παραπανω σχεσεις δειχνουν οτι οι χ,ψ,ω αποτελουν αριθμητικη πρόοδο:
χ-ψ=ψ-ω=κ αρα: χ=ψ+κ=ω+2κ (5)
Για ω=1 ειναι: 10>χ=1+2κ => 5>κ αρα: κΕ{1,2,3,4}.
Τωρα απο την (Α) εχουμε:
κ(α-β)=20β => α=(20+κ)β/κ (Δ)
οποτε: α-β=((20+κ)β/κ)-β=20β/κ
Αντικαθιστωντας στην (1) εχουμε:
(20β/κ)χ+10β=1000 => 10β((2χ/κ)+1)=1000 => β((2χ/κ)+1)=100 (6)
Απο την (6) συναγεται οτι: α) κ/χ ή β) κ/2
Εξεταζουμε τις δυο περιπτωσεις:
α) Εστω: χ=κλ η (6) γινεται: β(2λ+1)=100 δηλ. ο περιττος (2λ+1) διαιρει τον 100.
Οι μονοι περιττοι διαιρετες του 100 ειναι οι 5 και 25.
Αν: 2λ+1=5 => λ=2 => χ=2κ και λογω της (5): χ=2κ=ω+2κ => ω=0 απορρ.
Αν: 2λ+1=25 => λ=12 => χ=12κ>10 απορρ.
β) κ/2 αρα κΕ{1,2}.
i) κ=1 τοτε η (6) γινεται: β(2χ+1)=100 δηλ. ο περιττος (2χ+1) διαιρει τον 100.
Αρα: 2χ+1=5 => χ=2=2κ+ω=2*1+ω => ω=0 απορρ.
ή 2χ+1=25 => χ=12>10 απορρ.
ii) κ=2 τοτε η (6) γινεται: β((2χ/2)+1)= β(χ+1)=100 αρα ο (χ+1) διαιρει τον 100.
Ειναι: 10>χ>3 => 11>χ+1>4 . Οι μονοι διαιρετες του 100 στο διαστημα(4,11)
ειναι οι 5 και 10.
Αν: χ+1=5 =>χ=4=2κ+ω=2*2+ω => ω=0 απορρ.
Αν: χ+1=10 => χ=9 οποτε: ψ=9-2=7 και ω=7-2=5 αποδεκτη λυση.
Απο την (6) για κ=2 και χ=9 εχουμε: β*(2*9/2 +1)=β*10=100 => β=10=0,1Ευρω
οποτε απο την (Δ) εχουμε:
α=(20+κ)β/κ=(20+2)*10/2=110=1,10Ευρω.
Συμπληρωματικα και παλι για τη λυση του Καρλο:
Επι πλεον η εξισωση: ω=(30-12ψ)/6 εχει και δευτερη λυση: ψ=2, ω=1.
Συνεπως η λυση σου απορριπτεται μετα πολλων επαινων. 🙂
Για να μην αδικησω τον Καρλο, διορθωνω την λυση του που μπορει να γινει αποδεκτη αν γνωριζουμε οτι οι τρεις αδελφοι πουλησαν το πρωΐ σε τιμη α ανα αυγο, οπου α ακεραιος, και το απογευμα σε τιμη β ανα αυγο, οπου β=λ/μ με λ,μ σχετικα πρωτους.
Ειδαμε στη λυση του προηγουμενου σχολίου μου οτι: χ-ψ=ψ-ω με κΕ{1,2,3,4}.
Απο την σχεση (Δ): α=(20+κ)β/κ εχουμε:
κ=1 –> α=21β
κ=2 –> α=11β
κ=3 –> α=23β/3=7,666β
κ=4 –> α=6β
Συμφωνα με την διατυπωση του προβλήματος:«Το πρωί ξεκίνησαν να τα πωλούν ακριβά» θα πρεπει να υποθεσουμε οτι: α=21β=21λ/μ, αρα κ=1.
Για να ειναι α ακεραιος πρεπει: μΕ{3,7}.
Αφου το απογευμα πουλησαν λ ευρω την μ-αδα θα πρεπει τα υπολοιπα των διαιρεσεων των αριθμων 10,20,50 δια του μ να ειναι οι χ,ψ,ω που αποτελουν αριθμητικη προοδο με λογο κ=1.
Αλλά το μ=3 αποκλειεται διοτι ο 3 διαιρει τον 30. Συνεπως: μ=7 και: α=21λ/7=3λ
Ειναι: 10=7*1+3, 30=7*4+2, 50=7*7+1 αρα: χ=3, ψ=2, ω=1.
Που σημαινει οτι οι 3 αδελφοι πουλησαν:
ο μκρος : 3 αυγα το πρωΐ και 7 το απογευμα
ο μεσαιος: 2 αυγα το πρωΐ και 7*4=28 το απογευμα
ο μεγαλος: 1 αυγο το πρωΐ και 7*7=49 το απογευμα
Με βαση τα παραπανω σχηματιζουμε το συστημα των εξισωσεων:
3α+7β=10
2α+28β=10
1α+49β=10
η επιλυση του οποιου μας δινει: α=3 και β=1/7 = 1 ευρω η εφταδα.
Για να μην αδικησω τον Καρλο, διορθωνω την λυση του που μπορει να γινει αποδεκτη αν γνωριζουμε οτι οι τρεις αδελφοι πουλησαν το πρωΐ σε τιμη α ανα αυγο, οπου α ακεραιος, και το απογευμα σε τιμη β ανα αυγο, οπου β=λ/μ με λ,μ σχετικα πρωτους.
Ειδαμε στη λυση του προηγουμενου σχολίου μου οτι: χ-ψ=ψ-ω με κΕ{1,2,3,4}.
Απο την σχεση (Δ): α=(20+κ)β/κ εχουμε:
κ=1 –> α=21β
κ=2 –> α=11β
κ=3 –> α=23β/3=7,666β
κ=4 –> α=6β
Συμφωνα με την διατυπωση του προβλήματος:«Το πρωί ξεκίνησαν να τα πωλούν ακριβά» θα πρεπει να ειναι: α=21β=21λ/μ αρα κ=1.
Για να ειναι α ακεραιος πρεπει: μΕ{3,7}.
Αφου το απογευμα πουλησαν λ ευρω την μ-αδα θα πρεπει τα υπολοιπα των διαιρεσεων των αριθμων 10,20,50 δια του μ να ειναι οι χ,ψ,ω που αποτελουν αριθμητικη προοδο με λογο κ=1.
Αλλά το μ=3 αποκλειεται διοτι ο 3 διαιρει τον 30. Συνεπως: μ=7 και: α=21λ/7=3λ
Ειναι: 10=7*1+3, 30=7*4+2, 50=7*7+1 αρα: χ=3, ψ=2, ω=1.
Που σημαινει οτι οι 3 αδελφοι πουλησαν:
ο μκρος : 3 αυγα το πρωΐ και 7 το απογευμα
ο μεσαιος: 2 αυγα το πρωΐ και 7*4=28 το απογευμα
ο μεγαλος: 1 αυγο το πρωΐ και 7*7=49 το απογευμα
Με βαση τα παραπανω σχηματιζουμε το συστημα των εξισωσεων:
3α+7β=10
2α+28β=10
1α+49β=10
η επιλυση του οποιου μας δινει: α=3 και β=1/7 = 1 ευρω η εφταδα.
Κακως απερριψα στο προηγουμενο σχολιο μου την περιπτωση: μ=3 διοτι:
10=3*1+7, 30=3*8+6, 50=3*15+5 αρα: χ=7, ψ=6, ω=5.
Που σημαινει οτι οι 3 αδελφοι πουλησαν:
ο μικρος : 7 αυγα το πρωΐ και 3 το απογευμα
ο μεσαιος: 6 αυγα το πρωΐ και 8*3=24 το απογευμα
ο μεγαλος: 5 αυγα το πρωΐ και 15*3=45 το απογευμα
Με βαση τα παραπανω σχηματιζουμε το συστημα των εξισωσεων:
7α+3β=10
6α+24β=10
5α+45β=10
η επιλυση του οποιου μας δινει: α=1,4 και β=1/15 = 0,20/3 = 0,20 ευρω η τριαδα.