Σε ένα δοχείο υπάρχουν 100 μαύροι (μ) και 100 λευκοί (λ) βόλοι. Αφαιρούμε 3 βόλους στην τύχη και:
α) αν είναι 3μ, τοποθετούμε στο δοχείο 1μ,
β) αν είναι 2μ+1λ, τοποθετούμε 1μ+1λ
γ) αν είναι 1μ+2λ, τοποθετούμε 2λ
δ) αν είναι 3λ, τοποθετούμε 1μ+1λ
Επαναλαμβάνουμε την πιο πάνω διαδικασία μέχρι να απομείνουν στο δοχείο 2 το πολύ βόλοι.
Πόσοι ακριβώς βόλοι μπορεί να απομείνουν και τι χρώματος ο καθένας; (αν χρειάζεται, διακρίνετε περιπτώσεις)
προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου
Το δοχείο θα έχει πάντα λευκούς βόλους.
Η μόνη περίπτωση που αφαιρούμε λευκούς βόλους είναι η δ και αφαιρούμε πάντα 2.
Επομένως ο αριθμός των λευκών είναι πάντα άρτιος.
Οι τελευταίοι 2 είναι λευκοί
Σε κάθε στάδιο της διαδικασίας, οι μαύροι βόλοι μπορούν να μειώνονται κατά 1 ή 2 ή να αυξάνονται κατά 1 όσο υπάρχει ακόμα απόθεμα 3 λευκών βόλων.
Οι λευκοί βόλοι είτε μένουν ίδιοι είτε μειώνονται κατά 2. Αφού ξεκινάμε με 100λ θα καταλήξουμε αναπόφευκτα σε 2λ, οπότε και δεν θα μπορούν να αυξηθούν άλλο οι μαύροι βόλοι. Άρα αναπόφευκτα θα μειωθούν και οι μαύροι βόλοι μέχρι μηδενισμού τους.
Οι τελευταίοι 2 λευκοί βόλοι δεν μπορούν να αφαιρεθούν από το δοχείο με κανέναν τρόπο, οπότε τελικά στο δοχείο θα μείνουν μόνο 2 λευκοί βόλοι.
Οι λευκοί βόλοι ελαττώνονται ανά δύο, αφού αν τραβήξουμε 1 ή 2 αυτοί επιστρέφουν, ενώ αν βγάλουμε 3 επιστρέφουμε τον 1 . Όταν φτάσουμε στους 2, αυτοί μένουν ως έχουν αφού είτε τους τραβήξουμε μαζί είτε ξεχωριστά αυτοί επιστρέφουν στο βάζο. Αυτό σημαίνει ότι όταν φτάσουμε στους 3 βόλους θα εχουμε την περίπτωση 2λ-1μ που δίνει 2λ.Αν πηγαίναμε στους 4 βόλους τότε:
είτε 4λ=> καταλήγουμε με 2λ, είτε 2λ-2μ=> καταλήγουμε με 2λ . Συνεπώς πάντα μένουμε με 2λ.
Πολύ σωστές απαντήσεις, μπράβο σε όλους!
Ο Μάνος είναι γνωστός και μη εξαιρετέος σε αυτό το στέκι, οπότε ας μου επιτραπεί να καλωσορίσω και ευχαριστήσω ιδιαιτέρως για τη συμμετοχή τους και την ποιότητα των σχολίων τους τους φίλους pantsik και ΚΣ.