Ο γρίφος της ημέρας – Ποπ-κορν (για πολύ καλούς λύτες)

...4

Ένας σάκος καλαμποκιού ποπ-κορν περιέχει κατά τα 2/3 λευκούς και κατά το 1/3 κίτρινους κόκκους.

Το καλαμπόκι όμως είναι κάπως στεγνό και έτσι μόνο το 1/3 των λευκών και τα 2/3 των κίτρινων κόκκων σκάνε στο ψήσιμο.

Ρίχνουμε στη φωτιά τρεις τυχαίους κόκκους και, ω του θαύματος, σκάνε κι οι τρεις.

Ποια είναι η πιθανότητα οι δύο να ήταν λευκοί κι ο ένας κίτρινος;

προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου 

4 σχόλια

  1. Μάνος Κοθρής

    Ο σάκος περιέχει ίση ποσότητα λευκών που σκάνε και κίτρινων ποθ σκάνε.
    Με δεδομένο ότι έσκασαν και οι τρεις κόκκοι
    η ζητούμενη πιθανότητα είναι 3/8

  2. pantsik

    Ορίζω τα εξής ενδεχόμενα:
    Γ = επιλέγονται 2 λευκοί και 1 κίτρινος κόκκος
    Σ1 = σκάει ένας κόκκος
    Σ = σκάνε και οι 3 κόκκοι

    Η ζητούμενη πιθανότητα είναι η Ρ(Γ|Σ) και σύμφωνα με το θεώρημα του Bayes έχουμε:
    Ρ(Γ|Σ) = Ρ(Σ|Γ)*Ρ(Γ)/Ρ(Σ)

    Οι πιθανότητες του δεξιού μέλους μπορούν να υπολογιστούν όλες ως εξής:
    Ρ(Σ|Γ) = (1/3)*(1/3)*(2/3) = 2/27
    Ρ(Γ) = (2/3)*(2/3)*(1/3) + (2/3)*(1/3)*(2/3) + (1/3)*(2/3)*(2/3) = 12/27
    Ρ(Σ1) = (2/3)*(1/3) + (1/3)*(2/3) = 4/9
    Ρ(Σ) = Ρ(Σ1)^3 = (4/9)^3

    Οπότε με αντικατάσταση έχουμε:
    Ρ(Γ|Σ) = (2/27)*(12/27)/(4/9)^3 = 3/8

  3. ΚΣ

    Έστω Χ ο αριθμός των κόκκων .Πηγαίνοντας με δεσμευμένη πιθανότητα και θεωρώντας ότι σκάνε 3 κόκκοι, υπολογίζουμε την πιθανότητα να είναι 2λ1κ
    τότε Π(Α\Β)=Π(Α)*Π(Β\Α)/Π(Β),
    Π(Α\Β)=πιθανότητα να σκάσουν 2λ1κ με δεδομένο ότι έσκασαν 3 κοκκοι
    Π(Α)= πιθανότητα να σκάσουν 2λ1κ
    Π(Β\Α)= πιθανότητα να έχουμε 3 κόκκους σκασμένους με δεδομένο ότι έσκασαν 2λ1κ
    Π(Β)=πιθανότητα να σκάσουν 3 κόκκοι
    Εδώ το Π(Β\Α)=1 αφού αν σκάσουν 2λ1κ τότε σίγουρα σκάνε 3 κόκκοι και έτσι Π(Α\Β)=Π(Α)/Π(Β).
    Οι παρονομαστες στις δύο πιθανότητες απαλείφονται οπότε μένουμε μόνο με τους αριθμητες) =>
    ((2/9x)*(2x/9-1)*(2/9x)*3)/((4/9x)(4/9x-1)(4/9x-2))= 3χ/(8χ-18). Αν χ τείνει στο άπειρο τότε η πιθανότητα τείνει στο 3/8

  4. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Πολύ σωστά, 3/8, πολύ όμορφες και οι δύο αποδείξεις!
    Αλλιώς, αφού ένας κόκκος που σκάει είναι ισοπίθανα λ ή κ, τότε τρεις κόκκοι που σκάνε μπορεί να είναι:
    3λ: με πιθ/τα (1/2)^3=1/8
    3κ: με πιθ/τα (1/2)^3=1/8
    2κ+1λ: με πιθ/τα 3*(1/2)^3=3/8
    2λ+1κ: με πιθ/τα 3*(1/2)^3=3=8
    (όταν οι κόκκοι είναι 2+1, ο διαφορετικός μπορεί να είναι ο 1ος ή ο 2ος ή ο 3ος, εξ ού και ο συντελεστής 3)

Απάντηση