Η περίμετρος ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι μεγαλύτερη από την περίμετρο ενός τετραγώνου κατά 2018μ και η διαφορά των πλευρών των δύο σχημάτων είναι ακέραια σε μ.Πόσες είναι οι δυνατές τιμές αυτής της διαφοράς στο διάστημα από 500 έως 1000μ;
προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου
Έστω κ η πλευρά του τριγώνου και λ η πλευρά του τετραγώνου.
3κ – 4λ = 2018, κ – λ = μ, με μ φυσικός με 500 =< μ =< 1000.
κ = λ + μ και λ = 2018 + 3μ, άρα κ,λ έίναι επίσης φυσικοί αριθμοί.
μ = 672 + (λ+2)/3, άρα λ = 3ν + 1, ν φυσικός
Τότε μ = 673 + ν
Επομένως το μ μπορεί να πάρει 1000-672 = 328 τιμές
Αν α είναι η πλευρά του τετραγώνου, β η πλευρά του τριγώνου και ν η ακέραια διαφορά τους, τότε έχουμε τις εξισώσεις:
3α=4β+2018
α=β+ν
Διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει ότι ν=(β+2018)/3
Για β=1 έχουμε το ελάχιστο ν στο διάστημα [500,1000] που είναι το ν=673 και για β=982 έχουμε το μέγιστο ν που είναι το ν=1000.
Το πλήθος των τιμών του ν είναι 1000-673+1 = 328.
Έστω α η πλευρά του τριγώνου και β η πλευρά του τετραγώνου.
Ισχύει α>β, 3α=4β+2018 (1) και α-β=μ (2) => μ=(β+2018)/3,
επειδή θέλουμε μ=500-1000 και β θετικό ,
αυτό γίνεται για όλες τις τιμές του μ από το 673-1000, δηλαδή για 328 τιμές.
Αν x η πλευρά του τριγ. και y του τετραγ. θα είναι 3x-4y=2018. Έστω μ=x-y φυσικός >0. Θα ισχύει 3x-3y-y=2018 άρα 3μ=2018+y με 3μ>2018 => μ>=673 μέχρι 1000.
Πολύ σωστά, 328 τιμές, συγχαρητήρια και θερμές ευχαριστίες σε όλους!