Με ένα σύρμα περιφράζουμε και διαμερίζουμε εσωτερικά μια ορθογώνια έκταση 4km×5km σε μικρότερα ορθογώνια τεμάχια.
Αν το συνολικό μήκος του σύρματος που διαθέτουμε είναι 2007 km, πόσα το πολύ τεμάχια μπορεί να προκύψουν;
προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου
Θεωρώ 5km το μήκος της έκτασης που θα χωριστεί από x το πλήθος οριζόντια κομμάτια συρματόπλεγμα μήκους 5km το καθένα και 4km το πλάτος της έκτασης που θα χωριστεί από y το πλήθος κάθετα κομμάτια συρματόπλεγμα μήκους 4km το καθένα. Τότε θα είναι 5x+4y=2007 με λύσεις (399+4t,3-5t), t ακέραιος. Με τον περιορισμό x, y >0 προκύπτουν οι 100 λύσεις (3,498), (7,493),…,(399,3) που τα x και y αντίστοιχα είναι δ.ο. Α.Π. και συμπίπτουν για ν=56 στο ζεύγος (223,223). (Η σύμπτωση δίνει το μεγαλύτερο γινόμενο).Τα x και y κομμάτια συρματόπλεγμα δημιουργούν (x+1)(y+1) το πλήθος ορθογώνια, δηλαδή 224^2=50176.
Φίλε ΚΔ, τα χ και ψ κομμάτια δημιουργούν (χ-1)(ψ-1) ορθογώνια. Ανεξάρτητα από αυτό, το μέγιστο ΔΕΝ επιτυγχάνεται για χ=ψ
Θα συμφωνήσω με τον φίλο ΚΔ για την εξίσωση 5χ+4ψ=2007 και για τις αντίστοιχες λύσεις. Εκτιμώ όμως, ότι προκειμένου να βρούμε το πλήθος των ορθογωνίων θα πρέπει να το υπολογίσουμε με τον τύπο (χ-1)(ψ-1). Στην περίπτωση αυτή το ζευγάρι που μας δίνει το μεγαλύτερο γινόμενο είναι το χ=199 και ψ=253, που δίνει 49896 ορθογώνια.
Πολύ σωστά Κωστή, αν και η λύση σου, ως έχει, φαντάζει κάπως ταχυδακτυλουργική?. Ας τη δούμε λοιπόν λίγο αναλυτικότερα:
Έστω Α ο αριθμός τεμαχίων και χ, ψ οι αριθμοί των γραμμών κατά μήκος και πλάτος αντιστοίχως. Ισχύουν:
Α = (χ-1)(ψ-1) και
5χ+4ψ=2007 => ψ=(2007-5χ)/4
Αντικαθιστώντας έχουμε:
Α = (χ-1)(-5χ+2003)/4 =
(-5/4)*χ^2 + 502*χ – 2003/4
Η τιμή Α μεγιστοποιείται για χ=1004/5=200,8 (από μηδενισμό της πρώτης παραγωγου της Α ως προς χ)
Επειδή όμως οι χ και ψ πρέπει να είναι ακέραιοι, δοκιμάζουμε τις δύο πλησιέστερες ακέραιες τιμές χ που δίνουν ακέραιες τιμές ψ. Αυτές δίνουν τα ζευγάρια (χ,ψ): (199,253), (203,248) με σχέση των αντίστοιχων τιμών Α:
198*252=49896 > 202*247=49894
Επομένως ο μέγιστος αριθμός τεμαχίων είναι 49896.