Ένα αυτοκίνητο πρέπει ν’ ανεβάσει στην κορυφή ενός βουνού 100 βαρέλια με βενζίνη.
Σε κάθε διαδρομή μπορεί να μεταφέρει μόνο ένα βαρέλι.
Αλλά ανεβαίνοντας στην κορυφή καταναλώνει όλοι την ποσότητα βενζίνης που έχει το βαρέλι και κατεβαίνει κατηφορίζοντας με σβηστή τη μηχανή για να πάρει το επόμενο βαρέλι.
Πόσα γεμάτα βαρέλια μπορεί ν’ ανεβάσει στην κορυφή;
προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr
Συναφές πρόβλημα με το πρόβλημα “Ο γάιδαρος του Μπουριντάν,”
Βλέπε εδώ:
Ο γάιδαρος του Μπουριντάν,ο ιστός της αράχνης,μια επιβλητική γέφυρα και λοιπά μαθηματικά προβλeeeματα…… (του Αθανάσιου Δρούγα)
Αντί για βαρέλια με βενζίνη δεμάτια με σανό και αντί για αυτοκίνητο
ένας γάϊδαρος.
Ο γάιδαρος βρίσκεται στην βάση μιας μεγάλης ανηφόρας.Δίπλα του υπάρχουν εκατό δεμάτια σανό,τα όποια πρέπει να μεταφερθούν στην κορυφή της ανηφόρας.Είναι γνωστό ότι ο γάιδαρος μπορεί να φορτώσει μόνο ένα δεμάτι σανό την φορά,από το οποίο και πρέπει να καταναλώνει για έχει δυνάμεις να κινηθεί στην ανηφόρα.Για να ανέβει την ανηφόρα χρειάζεται να καταναλώσει ακριβώς ένα πλήρες δεμάτι σανό.Ερωτηματικό.Πως είναι δυνατόν να μεταφερθεί κάποια ποσότητα σανού στην κορυφή της ανηφόρας.Πόση είναι θεωρητικά η μέγιστη ποσότητα σανού που μπορεί να μεταφερθεί επάνω.Υποθέτουμε ότι στην κατηφόρα ο γάιδαρος δεν καταναλώνει σανό.
Η βασική σκέψη πίσω από το πρόβλημα είναι ότι πρέπει να μεταφερθούν τα δεμάτια ένα-ένα μέχρι κάποια ή κάποιο ενδιάμεσο σημείο της ανηφόρας,να αναταχτούν πάλι ως πλήρη δεμάτια εκεί,και κατόπιν να συνεχίσει ο γάιδαρος με αυτά προς τα επάνω, ώστε να μην φτάσει στο τέρμα χωρίς καθόλου φορτίο (κάτι που θα συνέβαινε αν ο γάιδαρος ανέβαινε όλη την ανηφόρα με το ίδιο δεμάτι σανό).Μια λύση θα ήταν λοιπόν ο γάιδαρος να μετέφερε και τα 100 δεμάτια μέχρι την μέση και κατόπιν,φτιάχνοντας από τα 100 μισά δεμάτια 50 πλήρη δεμάτια να κάνουμε 50 διαδρομές,τερματίζοντας έτσι με 25 πλήρη δεμάτια. Υπάρχουν όμως καλύτερες λύσεις; Ουσιαστικά, πρόκειται για το ζητούμενο του δευτέρου ερωτήματος. Μια δεύτερη βασική σκέψη είναι ότι μας συμφέρει ο γάιδαρος να προχωρεί με όσο το δυνατόν περισσότερες ενδιάμεσες στάσεις συγκέντρωσης εναπομείναντος σανού.
Δηλαδή, πρέπει να κάνουμε συχνά στάσεις και να φτιάχνουμε σωρούς από πλήρη δεμάτια
▪ Κάνοντας δυο στάσεις τερματίζουμε με:
(100-100(1/2))-[100-100(1/2)](1/2)=
(100-100(1/2))(1-(1/2))=
= (100-100(1/2)2=
100(1-1/2)2 =25 δεμάτια
▪ Κάνοντας τρεις στάσεις τερματίζουμε με:
(100-100(1/3))-[(100-100(1/3))-(100-100(1/3))(1/3)]-[(100-100(1/3))-(100-100(1/3))(1/3)-(100-100(1/3))-(100-100(1/3))(1/3))(1/3)]=…=100(1-1/3)3 =29,62 περίπου πλήρη δεμάτια
(Όποιος δει την παραπάνω αριθμητική παράσταση και συνεχίσει να διαβάζει μπορεί να περηφανεύεται ότι ζει επικίνδυνα!!)
▪ Κάνοντας τέσσερις στάσεις τερματίζουμε με 100(1-1/4)4 =31.64 περίπου πλήρη δεμάτια.
▪ Κάνοντας ν στάσεις θα τερματίσουμε με 100(1-1/ν)ν δεμάτια.
Όμως,καθώς το ν μεγαλώνει απεριόριστα (λέμε ότι τείνει στο άπειρο) η παράσταση 100(1-1/ν)ν τείνει στο 100/e=36,7879.
Υπενθυμίζουμε ότι e=2,71.. o γνωστός υπερβατικός αριθμός.
Άρα όσες ενδιάμεσες στάσεις και να κάνουμε δεν πρόκειται η μέγιστη ποσότητα σανού που θα μεταφερθεί στο τέρμα να ξεπεράσει τα 37 πλήρη δεμάτια.
Φιλικά,
Carlo