Ο γρίφος της ημέρας – Τα Γενέθλια (για καλούς λύτες)

...2

Σε μία οικογένεια ο πατέρας και η κόρη έχουν γενέθλια την ίδια μέρα.

Στα φετινά τους γενέθλια συνέβη το εξής: η κόρη έγινε 15 ετών και ο πατέρας 51.

Η μητέρα λοιπόν πήρε δυο τούρτες γενεθλίων όμως αγόρασε μόνο δύο κεράκια, ένα με τον αριθμό 1 και ένα με τον αριθμό 5.

Έβαλε τα κεράκια στην τούρτα του πατέρα ώστε ο αριθμός να είναι 51, ο πατέρας έσβησε τα κεράκια και στη συνέχεια πήρε τα κεράκια τα άλλαξε θέση και τα έβαλε στην τούρτα της κόρης για να τα σβήσει και αυτή.

  1. Πόσα κεράκια πρέπει να αγοράσει η μητέρα την επόμενη χρονιά, για να σβήσουν στις τούρτες τους ο πατέρας και η κόρη;

  2. Μετά από πόσα χρόνια από τα φετινά γενέθλια θα συμβεί για δεύτερη φορά οι δεκάδες από τα έτη της κόρης να είναι μονάδες στα έτη του πατέρα και οι μονάδες στα έτη της κόρης να είναι δεκάδες στα έτη του πατέρα;

  3. Θα συμβεί και τρίτη φορά το ίδιο φαινόμενο; Μπορούμε να προβλέψουμε κάθε πόσα χρόνια συμβαίνει αυτό;

προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr

2 σχόλια

  1. ΚΔ

    1. Για να σχηματίσει τους αριθμούς 16,52 θα αγοράσει 2 κεράκια το 2 και το 6, αφού το 1 και το 5 ήδη τα έχει.
    2. Μετά από 11 χρόνια, όταν ο πατέρας θα είναι 62 και η κόρη 26.
    3. Θα συμβαίνει κάθε 11 χρόνια. Δηλαδή 73-37, 84-48, … .

  2. Carlo de Grandi

    i. Την επόμενη χρονιά ο πατέρας θα γίνει 52 ετών και η κόρη 16 οπότε, η μητέρα θα αγοράσει 4 κεράκια με τους αριθμούς 1,2,5,6.
    ii. Για να συμβεί ξανά αυτό το φαινόμενο θα πρέπει όσο αυξηθούν οι μονάδες τόσο να αυξηθούν και οι δεκάδες των ηλικιών. Ο μικρότερος αριθμός που μπορούν να αυξηθούν οι μονάδες των ηλικιών είναι 1 οπότε, πρέπει και οι δεκάδες να αυξηθούν κατά 1. Άρα σε 10 + 1 = 11 χρόνια θα ξανασυμβεί.
    iii. 1ος τρόπος: Λογική αιτιολόγηση:
    Από το προηγούμενο ερώτημα «ii» παρατηρούμε ότι κάθε 11 χρόνια οι μονάδες και οι δεκάδες αυξάνονται κατά ίσο πλήθος, οπότε τρίτη φορά θα συμβεί μετά από 22 χρόνια, τέταρτη φορά μετά από 33 κ.ο.κ.
    2ος τρόπος: Αλγεβρική απόδειξη: (Για δεύτερο διαγωνισμό ή μεγαλύτερη τάξη)
    Έστω xy και yx οι ηλικίες του πατέρα και της κόρης αντίστοιχα, όπου x, y τα ψηφία των ηλικιών και x, y φυσικοί αριθμοί. Έχουμε:
    10x+y-(10y+x) = 51 − 15 —-> 9x-9y = 36 —-> 9*(x-y) = 36 —-> x-y = 4 —-> y= x-4
    Τα ζεύγη (x, y) φυσικών που επαληθεύουν την παραπάνω ισότητα παράγουν τις ηλικίες όπου εμφανίζεται το φαινόμενο. Προφανώς, πρέπει y ≥ 1 ώστε η κόρη να έχει διψήφιο αριθμό ετών οπότε έχουμε:
    y ≥1 —-> x-4≥1 —-> x≥1+4 —-> x≥5
    Για x = 5 έχουμε:
    y= x-4 —-> y=5-4 —–> y=1
    H πρώτη φορά που συμβαίνει με ηλικίες πατέρα και κόρης 51 και 15 αντίστοιχα.
    Για x = 6 έχουμε:
    y= x-4 —-> y=6-4 —–> y=2
    H δεύτερη φορά που συμβαίνει με ηλικίες πατέρα και κόρης 62 και 26 αντίστοιχα.
    Για x = 7 έχουμε:
    y= x-4 —-> y=7-4 —–> y=3
    H τρίτη φορά που συμβαίνει με ηλικίες πατέρα και κόρης 73 και 37 αντίστοιχα. κ.ο.κ..
    Τέλος για να συμβαίνει αυτό το φαινόμενο παρατηρούμε ότι η ηλικία εξαρτάται μόνο από ένα από τα δύο ψηφία και ισχύει ότι, η ηλικία του πατέρα:
    10x+y
    Αντικαθιστούμε τη τιμή του «x» κι’ έχουμε:
    y=x-4 —-> x=y+4 Άρα:
    10x+y —-> 10(y+4)+y —–> 10y+40+y —–> 11y+40
    Άρα κάθε 11 χρόνια από τα 51α γενέθλια του πατέρα παρατηρείται το φαινόμενο. Ομοίως αποδεικνύεται και για την κόρη.
    Πηγή:
    6ος Τοπικός Μαθηματικός Διαγωνισμός ΄Καραθεοδωρή” από το παράρτημα Ροδόπης
    της Ε.Μ.Ε. 14-11-2015 Α΄ Γυμνασίου
    https://vdocuments.site/-2015–56aded7d893ab.html

Απάντηση