Ο βαρόνος Μιγχάουζεν ισχυρίζεται ότι γνωρίζει δύο φυσικούς αριθμούς που ο ένας είναι ο κύβος του άλλου και το πλήθος των ψηφίων και των δύο μαζί είναι 2001.
Υπάρχει περίπτωση να λέει την αλήθεια; Αιτιολογήστε.
προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου
Ο βαρόνος Μιγχάουζεν ισχυρίζεται ότι γνωρίζει δύο φυσικούς αριθμούς που ο ένας είναι ο κύβος του άλλου και το πλήθος των ψηφίων και των δύο μαζί είναι 2001.
Υπάρχει περίπτωση να λέει την αλήθεια; Αιτιολογήστε.
προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου
Έστω α ο μικρότερος αριθμός και β ο κύβος του. Η διαφορά των ψηφίων του β με τα ψηφία του α αυξάνεται κατά 1 πάντοτε σε κάποιο α που το αρχικό ψηφίο του είναι το 2 και στη συνέχεια αυξάνεται πάλι κατά 1 σε κάποιο α’ που έχει τον ίδιο αριθμό ψηφίων με το α και το αρχικό του ψηφίο είναι το 4. Αυτός ο κανόνας ισχύει σε κάθε επόμενη περίπτωση εκτός των δύο πρώτων όπου α=3 και α=5. Το σύνολο των ψηφίων του α και του β αυξάνεται κατά 1 στη μετάβαση από το αρχικό ψηφίο 2 προς το αρχικό ψηφίο 4.
Η διαφορά των ψηφίων του β με τα ψηφία του α αυξάνεται πάλι κατά 1 όταν ο αριθμός α αρχίζει πάλι από 2 αλλά τα ψηφία του α αυξάνονται κατά 1. Σε αυτήν την περίπτωση το σύνολο των ψηφίων του α και του β αυξάνεται κατά 3.
Τα παραπάνω συνοψίζονται στον εξής πίνακα:
αρχ_ψηφ_α ψηφία_α ψηφία_β διαφ_ψηφ_β_με_ψηφ_α σύν_ψηφ_α_και_β
2 2 5 3 7
4 2 6 4 8
2 3 8 5 11
4 3 9 6 12
… … … … …
2 500 1499 999 1999
4 500 1500 1000 2000
2 501 1502 1001 2003
Βλέπουμε πως το σύνολο των ψηφίων των α και β αυξάνεται από 2000 σε 2003. Συνεπώς δεν γίνεται το σύνολο των ψηφίων να είναι ίσο με 2001 και το Βαρόνος λέει ψέματα.
Ενας φυσικός αριθμός με ν ψηφία έχει κύβο ο οποίος έχει 3ν-2 ή 3ν-1 ή 3ν ψηφία.
Το συνολικό άθροισμα των ψηφίων είναι 4ν-2 ή 4ν-1 ή 4ν.
Οι εξισώσεις 4ν-2 = 2001, 4ν -1 = 2001 και 4ν = 2001 δεν έχουν λύση στους φυσικούς.
Αν παραστήσω α(ν-1)*10^(ν-1)+…+α(0) ένα φυσικό με ν ψηφία, ο κύβος του γράφεται (α(ν-1)^3)*10^(3ν-3)+…+α(0)^3 και μπορεί να έχει από 3ν-2 έως 3ν ψηφία, ανάλογα με το είδος των ψηφίων (1^3, 2^3 μονοψήφιοι, 3^3, 4^3 διψήφιοι, 5^3,…,9^3 τριψήφιοι). Άρα το άθροισμα των ψηφίων των 2 φυσικών θα έχει από 4ν έως 4ν-2 ψηφία, δηλαδή δεν θα έχει τον 1mod4 που είναι ο 2001. Δηλαδή ο ισχυρισμός είναι ψευδής.
Εστω Χ ο ένας αριθμός και Χ^3 ο δεύτερος
Εάν ν ο αριθμός των ψηφίων του Χ, τότε 10^(ν-1)<=Χ<10^ν, οπότε, υψώνοντας εις τον κύβο:
10^(3ν-3)<=Χ^3<10^(3ν)
Επομένως, ο Χ^3 έχει αριθμό ψηφίων είτε 3ν-2, είτε 3ν-1, είτε 3ν, άρα το σύνολο των ψηφίων και των δύο αριθμών, μπορεί να είναι είτε 4ν-2, είτε 4ν-1, είτε 4ν. Ομως για κανέναν φυσικό ν, κάποιο από αυτά τα αθροίσματα δεν μπορεί να ισούται με 2001.
Επομένως, δεν λέει αλήθεια
Έστω ότι Α ο ζητούμενος αριθμός.
Αν Α ;ίσο με 10^500 τότε Α^3=10^1500 και θα είχαμε άθροισμα ψηφίων 501+1501=2002
Αν Α ίσο με 10^499 τότε Α^3=10^1497 και θα είχαμε άθροισμα ψηφίων 500+1498=1998
Άρα ισχύει ότι 10^499 μικρότερο από Α, και το Α μικρότερο από 10^500 (1) . Αυτό σημαίνει ότι το πλήθος των ψηφίων του Α είναι 500.
Από (1) ισχύει ότι 10^1497 μικρότερο από Α^3 και το Α^3 μικρότερο από 10^1500. Αυτό σημαίνει ότι το πλήθος των ψηφίων του Α^3 είναι 1498, 1499, 1500.
Συνεπώς 500+1498=1998, 500+1499=1999, 500+1500=2000
Άρα αδύνατο.
Η απάντηση μου είναι όχι. Ο λόγος είναι οτι αν δουμε τις πιο απλές περιπτώσεις υπάρχει ένα μοτίβο
Δεν υπάρχουν αριθμοι με 1 ψηφίο μαζί με 4 , 9 ,13 κ.ο.οκ
Αυτη η αλλαγή προκύπτει (το πήδημα δηλαδή με διαφορά 2 ψηφίων και μετά για 3 περιπτώσεις κατά 1 ψηφίο μετά κατά 2 κλπ) στο σημείο που ο αριθμός α αυξάνει τα ψηφίο του κατά 1 δηλαδή από το 9 στο 10 , απο το 99 στο 100 κλπ)
Αρα οι αριθμοί ψηφίων που δεν υπάρχουν ακολουοθύν το μοτίβο είναι της μορφής 1+4*κ όπου κ ακέραιος
Αν λυσουμε 1+4κ=2001
Οπου κ=500 που όντως είναι ακέραιος άρα δεν υπάρχει συνδυασμός που να δίνει 2001 ψηφία οπότε ψεύδεται ο βαρώνος
Εξαιρετικοί ανιχνευτές ψεύδους άπαντες, εύγε!
Κρατήστε καλά τη φόρμα σας παίδες, έπεται συνέχεια.. (και εκλογές οσονούπω?)