Ο Άρης και η Βίκυ ξεκινάνε ταυτόχρονα με τα ποδήλατά τους από τις πόλεις Α και Β αντιστοίχως, κινούμενοι αντίθετα μέχρι να συναντηθούν. Η απόσταση των δύο πόλεων είναι 50 χλμ και οι ταχύτητες σταθερές στα 30χλμ/ω για τον Άρη και 20χλμ/ω για τη Βίκυ. Ταυτόχρονα με τον Άρη και από το ίδιο σημείο, μια μύγα ξεκίνησε να πετάει προς τη Βίκυ με σταθερή ταχύτητα 40χλμ/ω, φτάνοντας στη Βίκυ ανέστρεψε ακαριαία τη φορά της κίνησής της και άρχισε να πετάει προς τον Άρη με σταθερή ταχύτητα 30χλμ/ω, φτάνοντας στον Άρη ανέστρεψε πάλι τη φορά της κίνησής της και κινήθηκε ξανά προς τη Βίκυ με 40χλμ/ω κ.ο.κ. Πόσα χλμ διένυσε συνολικά η μύγα μέχρι τη στιγμή που συναντήθηκαν τα δύο ποδήλατα;
Ο Άρης και η Νίκυ συναντήθηκαν σε 1 ώρα.
Η μύγα κινήθηκε 5/6 h προς τη Βίκυ με 40km/h, έπειτα 5/36 h προς τον Άρη με 30 km/h, έπειτα 5/6^3 h προς τη Βίκυ με 40km/h, έπειτα 5/6^4 h προς τον Άρη με 30 km/h κ.ο.κ.
Συνολικά διένυσε (5/6 +5/6^3 + 5/6^5 + …)*40 + (5/6^2 + 5/6^4 + 5/6^6 + …)*30 =
6/7 * 40 + 1/7 * 30 = 270/7 km = 38571 m περίπου
Ο Α και η Β θα συναντηθούν πάνω στην ώρα. Η 1η συν. ΜΒ θα γίνει στη λύση της 40τ+20τ=50, τ=5/6ω. Στο χρόνο αυτό η Μ θα κάνει 100/3χ., η Β 50/3χ. και ο Α 25χ. Μένουν 25/3χ. Η 1η συν ΜΑ θα γίνει στη λύση της 60τ=25/3, τ=5/36ω. Στο χρόνο αυτό η Μ θα κάνει 25/6χ., η Β 25/9χ και ο Α25/6χ. Μένουν 25/18χ. Η 2η συν. ΜΒ θα γίνει στη λύση της 60τ=25/18, τ=5/216ω. Στο χρόνο αυτό η Μ θα κάνει 25/27χ., η Β 25/54χ. και ο Α25/36χ. Μένουν 25/108χ. Η 2η συν. ΜΑ θα γίνει στη λύση της 60τ=25/108, τ=5/1296ω. Στο χρόνο αυτό η Μ θα κάνει 25/216χ. Βλέπω ότι οι χρόνοι Μ είναι δο ΓΠ με α1=5/6, λ=1/6 και το άθροισμα άπειρων όρων της =1. Οι αποστάσεις της Μ αποτελούν δο 2 ΓΠ εναλλάξ με β1=100/3, λ=1/36 και γ1=25/6, λ=1/36, με άθροισμα άπειρων όρων 38 4/7χ.
O A και η Β θα συναντηθούν πάνω στην ώρα, στη λύση της 30τ+20τ=50. Η 1η συν. ΜΒ θα γίνει στη λύση της 60τ=50,τ=5/6ω. Στο χρόνο αυτό η Μ θα διανύσει 100/3χ., η Β 50/3χ. και ο Α 25χ. Μένουν 25/3χ. Η 1η συν. ΜΑ θα γίνει στη λύση της 60τ=25/3,τ=5/36ω. Στο χρόνο αυτό η Μ θα διανύσει 25/6χ., η Β 25/9χ. και ο Α 25/6χ. Μένουν 25/18χ. Η 2η συν. ΜΒ θα γίνει στη λύση της 60τ=25/18,τ=5/216ω. Στο χρόνο αυτό η Μ θα διανύσει 25/27χ., η Β 25/54χ. και ο Α 25/36χ. Μένουν 25/108χ. Η 2η συν. ΜΑ θα γίνει στη λύση της 60τ=25/108,τ=5/1296ω. Στο χρόνο αυτό η Μ θα διανύσει 25/216χ. Οι χρόνοι Μ μεταξύ διαδοχικών συν. αποτελούν δο ΓΠ με α1=5/6, λ=1/6 και άθροισμα άπειρων όρων 1. Οι διανυόμενες αποστάσεις Μ αποτελούν δο 2 ΓΠ με β1=100/3, λ=1/36 και γ1=25/6, λ=1/36 και έχουν άθροισμα άπειρων όρων 270/7=38 4/7χ.
Η προσπάθεια επίλυσης του προβλήματος με τον υπολογισμό όλων των αποστάσεων που καλύπτει η μύγα είναι επίπονη και τελικά μη ακριβής. Υπάρχει όμως ένας απλός τρόπος να υπολογιστεί η συνολική απόσταση. Αυτός είναι με τον υπολογισμό των χρόνων: Η μύγα θα πηγαίνει και θα γυρνάει για όσο χρόνο χρειάζεται για να συναντηθούν ο Άρης και η Βίκυ.
(α)Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως η σχετική ταχύτητα των δύο ποδηλάτων είναι:
Vσχ = υ1+ υ2 = 30+20 —-> Vσχ =50Km./h
Βάσει του τύπου της Ευθύγραμμης Ομαλής Κίνησης S = υ* t τα δύο ποδήλατα θα συναντηθούν σε:
S = υ* t —-> t = S/υ —-> t = 50/50 —-> t =1ώρα
(β) Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως οι σχετικές ταχύτητες της μύγας είναι:
Vσχ = υ1+ υ2 = 40+30 —-> Vσχ =70Km./h
Στο ίδιο αυτό χρονικό διάστημα, της μας ώρας, η μύγα θα έχει διανύσει, βάσει του τύπου της Ευθύγραμμης Ομαλής Κίνησης S = υ* t , μια απόσταση ίση με:
S = υ* t —-> S=70*1 —-> S=70Km.
Το πρόβλημα είναι μια παραλλαγή του προβλήματος που έθεσαν κάποιοι στον John von Neumann(1903 – 1957)::
«Δύο τρένα που απέχουν 200χλμ. τρέχουν με ταχύτητα 50χλμ./ώρα το καθένα σε αντίθετες κατευθύνσεις επάνω σε μια ευθεία. Μία μύγα ξεκινάει πετώντας από το ένα τρένο στο άλλο και αρχίζει να κάνει μπρος-πίσω ανάμεσα στα δύο τρένα, μέχρις ότου συναντηθούν τα δύο τρένα, με σταθερή ταχύτητα 75χλμ./ώρα. Πόσα χιλιόμετρα θα έχει διανύσει η μύγα μέχρι να συναντηθούν τα τρένα;»
Ο John von Neumann μετά από λίγη σκέψη (3΄΄ ) είπε 150χλμ..
«Περίεργο», του είπε ο συνομιλητής του, «Υπάρχει ο εύκολος τρόπος και ο τρόπος με σειρές. Συνήθως οι μαθηματικοί στους οποίους έθεσα το πρόβλημα προσπαθούν να υπολογίσουν το άθροισμα της σειράς και κάνουν πολλή ώρα. Ενώ εσείς το αποφύγατε.».
“Μα και εγώ με σειρά το έλυσα”, του απάντησε ο John von Neumann και
τον άφησε άναυδο!
Μια παραλλαγή αυτής της ιστορίας είναι και η εξής:
Το πρόβλημα αυτό τέθηκε από κάποιον στον John von Neumann, ο οποίος είχε τη φήμη του ιδιαίτερα ευφυούς μαθηματικού. Αυτός σκέφτηκε για 3 (!) δευτερόλεπτα και απάντησε:
«Είναι πολύ απλό: 150 χιλιόμετρα».
Ο συνομιλητής του τότε του είπε:
«Συγχαρητήρια κύριε Neumann. Σχεδόν όλοι προσπαθούν να λύσουν αυτό το πρόβλημα υπολογίζοντας την άπειρη ακολουθία».
Και ο von Neumann του απάντησε:
«Α, γιατί; υπάρχει και άλλος τρόπος;»
Εσείς μπορείτε να τον βρείτε;
Ο Α και ο Β θα συναντηθούν σε 1 ώρα. Η κίνηση της μύγας στο διάστημα αυτό από τον Α στον Β γίνεται διαδοχικά για χρονικά διαστήματα 5/6^(2ν+1), δηλαδή 5/6, 5/6^3, 5/6^5…..
Η σειρά συγκλίνει στην τιμή 6/7 και συνολικά η κίνηση της μύγας προς τον Β με ταχύτητα 40χλμ για χρόνο 6/7 της ώρας δίνει απόσταση 40*6/7=240/7.
Από τον Β στον Α η μύγα κινείται διαδοχικά για διαστήματα 5/6^2ν, δηλαδή 5/6^2, 5/6^4, 5/6^6….
Η σειρά συγκλίνει στο 1/7 και συνολικά η κίνηση της μύγας προς τον Α με ταχύτητα 30χλμ για χρόνο 1/7 της ώρας δίνει απόσταση 30*1/7=30/7. Συνολικά δηλαδή η μύγα μέχρι τη στιγμή της συνάντησης θα έχει διανύσει 240/7+30/7=270/7 χλμ
Ευκολα συναγεται οτι τα δυο ποδηλατα συναντηθηκαν μετα απο χρονο t=1ωρα.
(ταχυτητα Αρη=30, ταχυτητα Βικυς=20, διαστημα s=50=30+20 αρα t=1h)
Σε αυτο το χρονικο διαστημα η μυγα διήνυσε αποσταση χ=α+β , την α με ταχυτητα 40χλμ/ωρα και την β με 30χλμ/ωρα, αρα η μεση ταχυτητα της ηταν ο αρμονικος μεσος των δυο παραπανω ταχυτητων:
v=2*40*30/(40+30)=240/7
και η αποσταση που διηνυσε η μυγα ειναι:
χ=v*t=(240/7)*1=240/7=34,2857…χλμ.
Έστω πως η μύγα συναντιέται με τη Βίκυ σε χρόνο t1. Η απόσταση που θα καλύψει η μύγα για να συναντηθεί στη συνέχεια με τον Άρη είναι t1*40 – t1*30 = 10*t1.
Αυτή η απόσταση θα καλυφθεί σε χρόνο t2 που είναι ίσος με την προηγούμενη απόσταση διά τη σχετική ταχύτητα της μύγας και του Άρη, δηλαδή t2 =(10*t1)/(30+30) = t1/6. Άρα η συνεισφορά της ταχύτητας της μύγας στη μέση ταχύτητά της όταν κινείται με 40 χλμ/ω είναι 6 φορές μεγαλύτερη από τη συνεισφορά της όταν κινείται με ταχύτητα 30 χλμ/ω.
Αυτή η συνθήκη έχει εφαρμογή σε κάθε αλλαγή κατεύθυνσης, οπότε η μέση ταχύτητα της μύγας μπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο:
Μέση ταχύτητα μύγας = (40*6 + 30*1)/(6+1) = 270/7 = 38,5714… χλμ/ω.
Η μύγα θα κινηθεί συνολικά για 1 ώρα γιατί σε αυτόν τον χρόνο θα συναντηθούν τα δύο ποδήλατα. Άρα η απόσταση που θα καλύψει η μύγα σε αυτήν την ώρα είναι 38,5714 χλμ.
Η προσπάθεια επίλυσης του προβλήματος με τον υπολογισμό όλων των αποστάσεων που καλύπτει η μύγα είναι επίπονη και τελικά μη ακριβής. Υπάρχει όμως ένας απλός τρόπος να υπολογιστεί η συνολική απόσταση. Αυτός είναι με τον υπολογισμό των χρόνων: Η μύγα θα πηγαίνει και θα γυρνάει για όσο χρόνο χρειάζεται για να συναντηθούν ο Άρης και η Βίκυ.
(α)Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως η σχετική ταχύτητα των δύο ποδηλάτων είναι:
Vσχ = υ1+ υ2 = 30+20 —-> Vσχ =50Km./h
Βάσει του τύπου της Ευθύγραμμης Ομαλής Κίνησης S = υ* t τα δύο ποδήλατα θα συναντηθούν σε:
S = υ* t —-> t = S/υ —-> t = 50/50 —-> t =1ώρα
(β) Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως οι σχετικές ταχύτητες της μύγας είναι:
Vσχ = υ1+ υ2 = 40+30 —-> Vσχ =70Km./h
Στο ίδιο αυτό χρονικό διάστημα, της μας ώρας, η μύγα θα έχει διανύσει, βάσει του τύπου της Ευθύγραμμης Ομαλής Κίνησης S = υ* t , μια απόσταση ίση με:
S = υ* t —-> S=70*1 —-> S=70Km.
Το πρόβλημα είναι μια παραλλαγή του προβλήματος που έθεσαν κάποιοι στον John von Neumann(1903 – 1957), που έχει ως εξής:
«Δύο τρένα που απέχουν 200χλμ. τρέχουν με ταχύτητα 50χλμ./ώρα το καθένα σε αντίθετες κατευθύνσεις επάνω σε μια ευθεία. Μία μύγα ξεκινάει πετώντας από το ένα τρένο στο άλλο και αρχίζει να κάνει μπρος-πίσω ανάμεσα στα δύο τρένα, μέχρις ότου συναντηθούν τα δύο τρένα, με σταθερή ταχύτητα 75χλμ./ώρα. Πόσα χιλιόμετρα θα έχει διανύσει η μύγα μέχρι να συναντηθούν τα τρένα;»
Ο John von Neumann μετά από λίγη σκέψη (3΄΄ ) είπε 150χλμ..
«Περίεργο», του είπε ο συνομιλητής του, «Υπάρχει ο εύκολος τρόπος και ο τρόπος με σειρές. Συνήθως οι μαθηματικοί στους οποίους έθεσα το πρόβλημα προσπαθούν να υπολογίσουν το άθροισμα της σειράς και κάνουν πολλή ώρα. Ενώ εσείς το αποφύγατε.».
“Μα, και εγώ με σειρά το έλυσα”, του απάντησε ο John von Neumann και τον άφησε άναυδο!
Μια παραλλαγή αυτής της ιστορίας είναι και η εξής:
Το πρόβλημα αυτό τέθηκε από κάποιον στον John von Neumann, ο οποίος είχε τη φήμη του ιδιαίτερα ευφυούς μαθηματικού. Αυτός σκέφτηκε για 3 (!) δευτερόλεπτα και απάντησε: «Είναι πολύ απλό: 150 χιλιόμετρα».
Ο συνομιλητής του τότε του είπε:
«Συγχαρητήρια κύριε Neumann. Σχεδόν όλοι προσπαθούν να λύσουν αυτό το πρόβλημα υπολογίζοντας την άπειρη ακολουθία».
Και ο von Neumann του απάντησε:
«Α, γιατί; υπάρχει και άλλος τρόπος;»
Εσείς μπορείτε να τον βρείτε;
Εξαιρετικές όλες (σχεδόν?) οι λύσεις, σας ευχαριστώ!
Δίνω μία ακόμα:
Ο συνολικός χρόνος πτήσης της μύγας ήταν 1 ώρα, όσος και ο χρόνος από το ξεκίνημα μέχρι τη συνάντηση των δύο ποδηλάτων. Η καθαρή μετατόπιση της μύγας στο διάστημα αυτό ήταν όση και η αντίστοιχη μετατόπιση του Άρη, δηλαδή 30χλμ από την πόλη Α προς την πόλη Β. Επομένως αν στο διάστημα αυτό, η μύγα κινήθηκε για χ ώρες προς τη Βίκυ και για 1-χ ώρες προς τον Άρη, θα έχουμε:
40χ-30(1-χ)=30 => χ=6/7, 1-χ=1/7 και η μύγα διένυσε συνολικά 40*6/7+30*1/7 = 270/7 = 38,57.. χλμ.
Θερμή παράκληση. Αν μπορείτε να αφήνετε τους γρίφους λίγο παραπάνω.βρηκα τη λύση χτες το βράδυ και δεν πρόλαβα να απαντησω☹
Μπάτη, αποφάσισε ένα από τα δύο: ή θα διαμαρτύρεσαι όταν αργούν να ανέβουν οι λύσεις σου ή θα παραπονιέσαι όταν δεν προλαβαίνουν ?.
Να το ορίσουμε πάντως: στο εξής, οι λύσεις στο γρίφο της Κυριακής, όσο εξαρτάται από εμένα τουλάχιστον, θα ανεβαίνουν την Πέμπτη.
@Θανάσης Παπαδημητρίου
Μόνο οι λύσεις είναι εξαιρετικές, και για την εικόνα κανένα σχόλιο 🙂 :).
Όσον αφορά για τη λύση με τη λύση που έδωσα έπρεπε να γράψω περίπου 35 χλμ.
Σόρι Κάρλο, υπέθεσα αφελώς ότι ήταν του Von Neumann (η εικόνα) και ντράπηκα να τον συγχαρώ. Τώρα όμως μπορώ νομίζω να εκφρασθώ ελεύθερα: τη βρίσκω όχι απλά εξαιρετική, αλλά ‘εκπάγλου καλλονής’!
Τωρα που απελευθερωθηκε ο σχολιασμος ας καταθεσω την διορθωση της προηγουμενης λαθος λυσης μου ( ετσι για … ιστορικους λογους, αγαπητε Θαναση) 🙂
Ευκολα συναγεται οτι τα δυο ποδηλατα συναντηθηκαν μετα απο χρονο t=1ωρα.
(ταχυτητα Αρη=30, ταχυτητα Βικυς=20, διαστημα s=50=30+20 αρα t=1h)
Σε αυτο το χρονικο διαστημα η μυγα διήνυσε αποσταση χ=α+β , την α με ταχυτητα 40χλμ/ωρα και την β με 30χλμ/ωρα, αρα:
α/40+β/30=1ωρα (1) και: α-β=30χλμ (2)
Λυνοντας το συστημα των (1) και (2) βρισκουμε: α=240/7 και β=30/7
αρα: χ=α+β=(240+30)/7=270/7 χλμ
@Θανάσης Παπαδημητρίου
Σ’ ευχαριστώ για την κριτική σου. “Εκπάγλου Καλλονής” δεν θα την προσδιόριζα, αλλά καλή, η οποία βέβαια “”δένει” με την εκφώνηση του προβλήματος.
Στιο ιστορικό μέρος αναφέρω και το πρόβλημα που του έθεσαν για να το λύσει, εάν θέλεις δώσε τη λύση.
Θεώρησα ότι δε χρειαζόταν πλέον, αλλά αφού τη ζητάς τη δίνω:
Τα δύο τρένα θα συναντηθούν σε 200/(50+50)=2 ώρες. Σε 2 ώρες η μύγα θα διανύσει 2×75=150 χλμ.
Θεώρησα ότι δεν ήταν πλέον απαραίτητο, αλλά αφού τη ζητάς τη δίνω:
Τα δύο τρένα θα συναντηθούν σε 200/(50+50)=2 ώρες. Σε 2 ώρες η μύγα θα διανύσει 2×75=150 χλμ
Για την Ιστορία, αγαπητέ voulagx, το σχεδόν δεν αφορούσε κυρίως εσένα, αλλά τον Von Neumann?.
@Θανάσης Παπαδημητρίου
Δεν εννοούσα ότι τη ζητάω απαραίτητα, απλώς τη ζήτησα για να υπάρχει. 🙂 🙂
@Θανάσης Παπαδημητρίου
Επειδή το “καρφί” ήταν για μένα,, που έκανα πως δεν το κατάλαβα αγαπητέ Θανάση, στο σχόλιο που έκανα ανωτέρω το αναφέρω ότι ήταν περιπου η μισή
απόσταση των 70χλμ. 🙂 🙂