Στο παρακάτω τραπέζιο ΑΒΓΔ ισχύουν: Α = Β = 900, ΒΓ = 2ΑΔ και ΑΒ = ΑΔ. Πώς μπορούμε να το χωρίσουμε σε δύο σχήματα που να έχουν το ίδιο εμβαδόν, χρησιμοποιώντας για το χωρισμό ένα μόνο ευθύγραμμο τμήμα;
προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr
Από το Α: Παίρνω σημείο Ε στην ΒΓ τέτοιο ώστε ΕΓ = ΒΓ/4. Έπειτα φέρνω ΑΕ.
Από το Β: Παίρνω σημείο Ζ στην ΓΔ τέτοιο ώστε ΔΖ = ΓΔ/4. Έπειτα φέρνω ΒΖ.
Από το Γ: Παίρνω σημείο Η στην ΑΒ τέτοιο ώστε ΑΗ = ΑΒ/4. Έπειτα φέρνω ΓΗ.
Από το Δ: Παίρνω σημείο Θ στην ΒΓ τέτοιο ώστε ΒΘ = ΒΓ/4. Έπειτα φέρνω ΔΘ.
Γενικά από οποιοδήποτε σημείο του τραπεζίου μπορώ να φέρω μια και μοναδική ευθεία που να χωρίσει το τραπέζιο σε δύο ίσοεμβαδικά σχήματα.
Θα φέρουμε κάθετο από τα 3/4 του ΑΔ, έστω από το Ε, στη ΒΓ, έστω στο Ε΄.
Ουσιαστικά, αν ΔΔ΄ το ύψος από το Δ στο ΒΓ, το τρίγωνο ΓΔ΄Δ έχει το μισό εμβαδό από το τετράγωνο ΑΒΔ΄Δ. Αν χ το εμβαδό του τριγώνου και 2χ το εμβαδό του τετραγώνου, λύνοντας χ+α= 2χ-α => α= χ/2= 2χ/4, δηλ. θέλουμε να δώσουμε το 1/4 του τετραγώνου στο τρίγωνο.
Θα φέρουμε κάθετο από τα 3/4 του ΑΔ στο ΒΓ.
Συνδέουμε το μέσο του ΑΔ με το μέσο του ΒΓ (και τα υπόλοιπα στοιχεία δε μας χρειάζονται). Υπάρχουν και άλλες λύσεις αλλά υποθέτω ότι κάποια άλλη διατύπωση είχατε υπ’ όψιν σας.
Έστω σημείο Ε στη ΒΓ που απέχει y από το Β. Τότε (ΑΒΕΔ)=(ΔΕΓ), (y+x)x/2=(2x-y)x/2, y=x/2. Άρα το ζητούμενο τμήμα είναι το ΔΕ.
ΑΑ’ (προς ΒΑ’Γ) με ΒΓ/Α’Γ=4
ΒΒ’ (προς ΔΒ’Γ) με ΔΓ/ΔΒ’=4
ΓΓ’ (προς ΑΓ’Β) με ΑΒ/ΑΓ’=4
ΔΔ’ (προς ΒΔ’Γ) με ΒΓ/ΒΔ’=4
Θεωρούμε ΑΒ=α.
Ε=(3α^2)/2. Το μισό Ε=(3α^2)/4.
α’ Ορίζουμε στην ΒΓ σημείο Κ ώστε ΒΚ=3ΒΓ/4. Τότε (ΑΒΚ)= (3α^2)/4.
β’ Ορίζουμε στην ΒΓ σημείο Κ ώστε ΒΚ=ΒΓ/4. Τότε (ΓΔΚ)= (3α^2)/4.
γ’ Ορίζουμε στην ΒΑ σημείο Κ ώστε ΒΚ=3ΒΑ/4. Τότε (ΓΒΚ)= (3α^2)/4.
δ’ Ορίζουμε στην ΓΔ σημείο Κ ώστε ΓΚ=3ΓΔ/4. Τότε (ΓΒΚ)= (3α^2)/4.
Πηγή
https://blogs.sch.gr/isiglavas/archives/2590#prettyPhoto