Πόσες τουλάχιστον κορυφές ενός κανονικού εικοσαγώνου χρειάζεται να επιλέξουμε στην τύχη ώστε να εξασφαλίζεται ότι υπάρχουν ανάμεσά τους τρεις κορυφές που σχηματίζουν ισοσκελές τρίγωνο;
Επιλέγοντας πχ. τα Α1, Α2, Α4, Α5, Α10 και Α11 δεν σχηματίζεται ισοσκελές τρίγωνο.
Με την επόμενη επιλογή μας (όποια κι αν είναι) σχηματίζεται ισοσκελές τρίγωνο.
Επομένως τουλάχιστον 7 κορυφές.
Έστω ΚΙΘΗΖΕΔΓΒΑΥΤΣΡΠΟΞΝΜΛ καν. 20γωνο. Ξεκινώ από την Κ, παίρνω την επόμενή της Ι, αφήνω την 3η Θ, παίρνω τις 2 επόμενες Η και Ζ, αφήνω τις 2 επόμενες Ε και Δ, παίρνω την επόμενη Γ, αφήνω την επόμενη Β, παίρνω τις 2 επόμενες Α και Υ, αφήνω την επόμενη Τ, παίρνω την επόμενη Σ, αφήνω την επόμενη Ρ, παίρνω τις 2 επόμενες Π και Ο, αφήνω τις 2 επόμενες Ξ και Ν, παίρνω την επόμενη Μ και αφήνω την τελευταία Λ. Έτσι δεν υπάρχουν ίσα τμήματα μεταξύ 3 κορυφών, αφού ως προς τον άξονα συμμετρίας ΑΥ του σχήματος δεν υπάρχουν συμμετρικά τμήματα. Οι κορυφές που χρησιμοποίησα είναι 11, αλλά όποια άλλη θεωρήσω θα δημιουργηθεί ισοσκελές τρίγωνο. Άρα ο ζητούμενος αριθμός κορυφών είναι 12.
ΚΣ
Σε ένα 10γωνο μπορούμε να εξασφαλίσουμε ισοσκελές τρίγωνο με την τυχαία επιλογή 5 κορυφών.
Στην περίπτωση του 20γωνου του προβλήματος μας μπορούμε να αναζητήσουμε την κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου με τη συμμετοχή κορυφών ίδιας αρτιότητας είτε μονής είτε ζυγής. Κατά αυτό τον τρόπο το 20γωνο “μετατρέπεται” σε 10γωνο αφού οι κορυφές της αντίθετης αρτιότητας με αυτή που έχουμε επιλέξει δε μας επηρεάζουν.
Για να καταφέρουμε να έχουμε 5 κορυφές ίδιας αρτιότητας θα πρέπει να επιλέξουμε στην τύχη 9 κορυφές.
Παραθέτω παράδειγμα όπου η τυχαία επιλογή 8 κορυφών δεν δίνει ισοσκελές τρίγωνο. Επιλέγουμε τις κορυφές 1,3,4,10,11,13,14,20
ΚΣ
Μια διευκρίνηση σχετικά με το πρώτο κομμάτι της λύσης που διατυπώθηκε. Στο 10γωνο η δυνατότητα να ελέγξουμε τις πιθανές περιπτώσεις είναι σχετικά σύντομη λόγω της συμμετρίας.
Τοποθετούμε σε έναν κύκλο τους αριθμούς 1-10. Παίρνουμε το σημείο 1 και στη συνέχεια διακρίνουμε 2 περιπτώσεις.
Περίπτωση Α. Να επιλέξουμε το διαμετρικό σημείο (6) και στη συνέχεια να επιλέξουμε είτε τα 3 σημεία από τη μια μεριά του κύκλου είτε να εξετάσουμε την περίπτωση οι επιλογές μας να είναι 2-1
Περίπτωση Β. Κρατάμε το 1 αλλά διαγράφουμε το 6. Εδώ δοκιμάζουμε τις περιπτώσεις 4-0, 3-1, 2-2.
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι στην ανάλυση και των δύο περιπτώσεων διευκολυνόμαστε από το γεγονός ότι η επιλογή ενός σημείου αυτομάτως διαγράφει το διαμετρικό σημείο, αφού σε αντίθετη περίπτωση θα είχαμε ισοσκελές τρίγωνο που θα σχηματιζόταν με τα δύο σημεία και το 1.
batman1986
Εδω θα εξετάσουμε τις περιπτώσεις μια μια
Εστω αριθμηση σημείων 1,2,3, ,4 …,20
Θα τοποθετούμε όσο το δυνατόν γίνεται κοντύτερα τα σημεία για να έχουμε μεγαλύτερη πυκνότητα και αναλόγως του αν έχουμε επιτρεπτές θέσεις θα διαγράφουμε-μετατοπίζουμε
Βάζουμε στη θέση 1 και μετά στη θέση 2
Στη θέση 3 δεν γίνεται λόγω ισοσκελούς 1-2-3
Βάζουμε στη θέση 4 και στη θέση 5
Στην 6 δεν γίνεται λόγω ισοσκελούς 4-5-6
Στην 7 δεν γίνεται λόγω ισοσκελούς 1-4-7
Στην 8 δεν γίνεται λόγω ισοσκελους 2-5-8
Στην 9 δεν γίνεται λόγω ισοσκελους 1-5-9
Βάζουμε στην 10
Μετά βάζουμε στην 11
Στην 12 οχι λόγω ισοσκελούς 10-11-12
Βάζουμε στην 13
Μετά στην 14
Στην 15 οχι λόγω ισοσκελούς 13-14-15
16 17 18 οχι (ιδιες περιπτώσεις με τις 7 8 9 λόγω συμμετρίας)
19 όχι αφου έχουμε ισοσκελές 14-19-4
Και τέλος στην 20 όχι λόγω ισοσκελούς 20-1-2
Αρα τα σημεία βγαίνουν αναγκαστικά 8 μάξιμουμ χωρίς ισοσκελές
Αρα με 9 τουλάχιστον έχουμε ισοσκελές
batman1986
Επίσης μπορούμε να πουμε το εξής .Για 5 διαδοχικά σημεία η διάταξη με τα δυνατά περισσότερα σημεία είναι 1,2,4,5
Παρατηρούμε ότι δεξιόστροφα και αριστερόστροφα αυτων των σημείων υπάρχουν 5 θέσεις που απαγορεύονται γιατι έχουμε ισοσκελές τρίγωνο άρα λόγω συμμετρίας υπάρχουν ακόμα 5 θέσεις που μπορούν να μπουν 4 σημεία ακόμα χωρίς να δημιουργείται ισοσκελές
Αρα συνολο 8 και αν μπει ένατο σημείο έχουμε σίγουρα ισοσκελές τρίγωνο
Θανάσης Παπαδημητρίου
Θα συμφωνήσω με τον Κωστή και τον Μπάτη, μπράβο παίδες, καλύψετε το θέμα πλήρως! Μια άλλη εξήγηση του γιατί πάντα αρκούν 9 κορυφές θα μπορούσε να είναι η εξής:
Οι πεντάδες κορυφών (1-5-9-13-17), (2-6-10-14-18), (3-7-11-15-19), (4-8-12-16-20) σχηματίζουν αντιστοίχως 4 κανονικά πεντάγωνα.
Αν μοιράσουμε οποιεσδήποτε 9 κορυφές του εικοσαγώνου στις 4 αυτές πεντάδες, τότε θα υπάρξουν ανάμεσά τους 3 κορυφές που θα ανήκουν στην ίδια πεντάδα (pigeonhole principle).
Σε ένα κανονικό πεντάγωνο, από τις κορυφές ορίζονται δύο μόνο διαφορετικά μήκη τμημάτων (πλευρά, διαγώνιος) και αναγκαστικά οι δύο από τις τρεις πλευρές κάθε τριγώνου που ορίζουν 3 κορυφές του είναι ίσες, άρα κάθε τέτοιο τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Επιλέγοντας πχ. τα Α1, Α2, Α4, Α5, Α10 και Α11 δεν σχηματίζεται ισοσκελές τρίγωνο.
Με την επόμενη επιλογή μας (όποια κι αν είναι) σχηματίζεται ισοσκελές τρίγωνο.
Επομένως τουλάχιστον 7 κορυφές.
Για τη λύση όρα εδώ:
https://imgur.com/a/s1d9bSG
Έστω ΚΙΘΗΖΕΔΓΒΑΥΤΣΡΠΟΞΝΜΛ καν. 20γωνο. Ξεκινώ από την Κ, παίρνω την επόμενή της Ι, αφήνω την 3η Θ, παίρνω τις 2 επόμενες Η και Ζ, αφήνω τις 2 επόμενες Ε και Δ, παίρνω την επόμενη Γ, αφήνω την επόμενη Β, παίρνω τις 2 επόμενες Α και Υ, αφήνω την επόμενη Τ, παίρνω την επόμενη Σ, αφήνω την επόμενη Ρ, παίρνω τις 2 επόμενες Π και Ο, αφήνω τις 2 επόμενες Ξ και Ν, παίρνω την επόμενη Μ και αφήνω την τελευταία Λ. Έτσι δεν υπάρχουν ίσα τμήματα μεταξύ 3 κορυφών, αφού ως προς τον άξονα συμμετρίας ΑΥ του σχήματος δεν υπάρχουν συμμετρικά τμήματα. Οι κορυφές που χρησιμοποίησα είναι 11, αλλά όποια άλλη θεωρήσω θα δημιουργηθεί ισοσκελές τρίγωνο. Άρα ο ζητούμενος αριθμός κορυφών είναι 12.
Σε ένα 10γωνο μπορούμε να εξασφαλίσουμε ισοσκελές τρίγωνο με την τυχαία επιλογή 5 κορυφών.
Στην περίπτωση του 20γωνου του προβλήματος μας μπορούμε να αναζητήσουμε την κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου με τη συμμετοχή κορυφών ίδιας αρτιότητας είτε μονής είτε ζυγής. Κατά αυτό τον τρόπο το 20γωνο “μετατρέπεται” σε 10γωνο αφού οι κορυφές της αντίθετης αρτιότητας με αυτή που έχουμε επιλέξει δε μας επηρεάζουν.
Για να καταφέρουμε να έχουμε 5 κορυφές ίδιας αρτιότητας θα πρέπει να επιλέξουμε στην τύχη 9 κορυφές.
Παραθέτω παράδειγμα όπου η τυχαία επιλογή 8 κορυφών δεν δίνει ισοσκελές τρίγωνο. Επιλέγουμε τις κορυφές 1,3,4,10,11,13,14,20
Μια διευκρίνηση σχετικά με το πρώτο κομμάτι της λύσης που διατυπώθηκε. Στο 10γωνο η δυνατότητα να ελέγξουμε τις πιθανές περιπτώσεις είναι σχετικά σύντομη λόγω της συμμετρίας.
Τοποθετούμε σε έναν κύκλο τους αριθμούς 1-10. Παίρνουμε το σημείο 1 και στη συνέχεια διακρίνουμε 2 περιπτώσεις.
Περίπτωση Α. Να επιλέξουμε το διαμετρικό σημείο (6) και στη συνέχεια να επιλέξουμε είτε τα 3 σημεία από τη μια μεριά του κύκλου είτε να εξετάσουμε την περίπτωση οι επιλογές μας να είναι 2-1
Περίπτωση Β. Κρατάμε το 1 αλλά διαγράφουμε το 6. Εδώ δοκιμάζουμε τις περιπτώσεις 4-0, 3-1, 2-2.
Θα πρέπει να σημειωθεί ότι στην ανάλυση και των δύο περιπτώσεων διευκολυνόμαστε από το γεγονός ότι η επιλογή ενός σημείου αυτομάτως διαγράφει το διαμετρικό σημείο, αφού σε αντίθετη περίπτωση θα είχαμε ισοσκελές τρίγωνο που θα σχηματιζόταν με τα δύο σημεία και το 1.
Εδω θα εξετάσουμε τις περιπτώσεις μια μια
Εστω αριθμηση σημείων 1,2,3, ,4 …,20
Θα τοποθετούμε όσο το δυνατόν γίνεται κοντύτερα τα σημεία για να έχουμε μεγαλύτερη πυκνότητα και αναλόγως του αν έχουμε επιτρεπτές θέσεις θα διαγράφουμε-μετατοπίζουμε
Βάζουμε στη θέση 1 και μετά στη θέση 2
Στη θέση 3 δεν γίνεται λόγω ισοσκελούς 1-2-3
Βάζουμε στη θέση 4 και στη θέση 5
Στην 6 δεν γίνεται λόγω ισοσκελούς 4-5-6
Στην 7 δεν γίνεται λόγω ισοσκελούς 1-4-7
Στην 8 δεν γίνεται λόγω ισοσκελους 2-5-8
Στην 9 δεν γίνεται λόγω ισοσκελους 1-5-9
Βάζουμε στην 10
Μετά βάζουμε στην 11
Στην 12 οχι λόγω ισοσκελούς 10-11-12
Βάζουμε στην 13
Μετά στην 14
Στην 15 οχι λόγω ισοσκελούς 13-14-15
16 17 18 οχι (ιδιες περιπτώσεις με τις 7 8 9 λόγω συμμετρίας)
19 όχι αφου έχουμε ισοσκελές 14-19-4
Και τέλος στην 20 όχι λόγω ισοσκελούς 20-1-2
Αρα τα σημεία βγαίνουν αναγκαστικά 8 μάξιμουμ χωρίς ισοσκελές
Αρα με 9 τουλάχιστον έχουμε ισοσκελές
Επίσης μπορούμε να πουμε το εξής .Για 5 διαδοχικά σημεία η διάταξη με τα δυνατά περισσότερα σημεία είναι 1,2,4,5
Παρατηρούμε ότι δεξιόστροφα και αριστερόστροφα αυτων των σημείων υπάρχουν 5 θέσεις που απαγορεύονται γιατι έχουμε ισοσκελές τρίγωνο άρα λόγω συμμετρίας υπάρχουν ακόμα 5 θέσεις που μπορούν να μπουν 4 σημεία ακόμα χωρίς να δημιουργείται ισοσκελές
Αρα συνολο 8 και αν μπει ένατο σημείο έχουμε σίγουρα ισοσκελές τρίγωνο
Θα συμφωνήσω με τον Κωστή και τον Μπάτη, μπράβο παίδες, καλύψετε το θέμα πλήρως! Μια άλλη εξήγηση του γιατί πάντα αρκούν 9 κορυφές θα μπορούσε να είναι η εξής:
Οι πεντάδες κορυφών (1-5-9-13-17), (2-6-10-14-18), (3-7-11-15-19), (4-8-12-16-20) σχηματίζουν αντιστοίχως 4 κανονικά πεντάγωνα.
Αν μοιράσουμε οποιεσδήποτε 9 κορυφές του εικοσαγώνου στις 4 αυτές πεντάδες, τότε θα υπάρξουν ανάμεσά τους 3 κορυφές που θα ανήκουν στην ίδια πεντάδα (pigeonhole principle).
Σε ένα κανονικό πεντάγωνο, από τις κορυφές ορίζονται δύο μόνο διαφορετικά μήκη τμημάτων (πλευρά, διαγώνιος) και αναγκαστικά οι δύο από τις τρεις πλευρές κάθε τριγώνου που ορίζουν 3 κορυφές του είναι ίσες, άρα κάθε τέτοιο τρίγωνο είναι ισοσκελές.