Ένα μεγάλο κερί καίγεται σε 16 λεπτά της ώρας και κοστίζει 16 λεπτά του ευρώ και ένα μικρό κερί καίγεται σε 7 λεπτά της ώρας και κοστίζει 7 λεπτά του ευρώ.
Τα κεριά ανάβουν μόνο από τη μία τους πλευρά και δεν αναλώνονται ομοιόμορφα, αλλά μπορούμε να τα σβήνουμε και να τα ανάβουμε ξανά όποτε θέλουμε και οσεσδήποτε φορές μέχρι να αναλωθούν εντελώς.
Μπορούμε να μετρήσουμε 1 λεπτό της ώρας κάνοντας χρήση τέτοιων κεριών;
Αν ναι, ποιο ποσό θα χρειαστούμε;
Αιτιολογήστε.
θα καψουμε ταυτοχρονα κα συνεχομενα 3 μεγαλα κα 7 μικρα Ο χρονος πουθα απομεινει μετα την καυση των μεγαλων ωσ να καει και το τελευταιο μικρο ειναι 1 λεπτο
Ανάβω συγχρόνως ένα των 7 και ένα των 16. Μόλις καίγεται το καθένα, ανάβω ένα όμοιό του. Όταν καούν 3 των 16 θα έχουν περάσει 48΄ και θα μένει 1΄ για να καεί και το 7ο των 7. Έχω πληρώσει 0,07*7+0,16*3=0,97€.
Για την περίπτωση ενδεχόμενης παρανόησης, διευκρινίζω ότι το ζητούμενο του δεύτερου ερωτήματος είναι το ελάχιστο απαιτούμενο ποσό.
Ναι, μπορούμε. Θα χρειαστούμε 4 μεγάλα κεριά και 9 μικρά κεριά συνολικής αξίας:
Μεγάλα 4*0,16=0,64€
Μικρά 9*0,07=0,63€
Σύνολο: 1,27€
Διαδικασία:
(1)Ανάβουμε συγχρόνως ένα μεγάλο κερί και δύο μικρά.
¨Όταν καούν τελείως τα δύο μικρά, θα έχουν απομείνει 2 λεπτά στο μεγάλο κερί για να καεί τελείως.
(2)Ανάβουμε ένα μεγάλο κερί και 2 λεπτά που έμειναν από το πρώτο μεγαλο κερί, συνολικός χρόνος για το μεγάλο κερί 18 λεπτά (16+2), ταυτόχρονα ανάβουμε και δύο μικρά κεριά.
¨Όταν καούν τελείως τα δύο μικρά, θα έχουν απομείνει 4 λεπτά στο μεγάλο κερί για να καεί τελείως.
(3)Ανάβουμε ένα μεγάλο κερί και 4 λεπτά που έμειναν από το δεύτερο μεγαλο κερί, συνολικός χρόνος για το μεγάλο κερί 20 λεπτά (16+4), ταυτόχρονα ανάβουμε και δύο μικρά κεριά.
Όταν καούν τελείως τα δύο μικρά, θα έχουν απομείνει 6 λεπτά στο μεγάλο κερί για να καεί τελείως
(4)Ανάβουμε ένα μεγάλο κερί και 6 λεπτά που έμειναν από το τρίτο μεγαλο κερί, συνολικός χρόνος για το μεγάλο κερί 22 λεπτά (16+6), ταυτόχρονα ανάβουμε και δύο μικρά κεριά.
Όταν καούν τελείως τα δύο μικρά, θα έχουν απομείνει 8 λεπτά στο μεγάλο κερί για να καεί τελείως
(5)Ανάβουμε ένα μικρό κερί και ‘οταν καεί τελείως θα έχει μείνει υπόλοιπο 1 λεπτό στο τέταρτο μεγάλο κερί για να καεί τελείως.
Θανάση, το ανωτέρω πρόβλημα προέρχεται από το Ρωσικό περιοδικό Kvant ελαφρά παραλλαγμένο και έχει ως εξής:
« Ένα μεγάλο κερί καίγεται σε μια ώρα και κοστίζει 0.60 ευρώ .Ένα μικρό κερί καίγεται σε 11 λεπτά και κοστίζει 0.11 ευρώ . Μπορείς να μετρήσεις ακριβώς ένα λεπτό ξοδεύοντας όχι περισσότερα από 1.5 ευρώ;»
Προσθέτουμε δυο επιπλέον συνθήκες :
1) Δεν μπορούμε να κόψουμε τα κεριά .
2)Δεν επιτρέπεται να ανάψουμε κάποιο κερί και από τα δυο άκρα ταυτόχρονα.
Όσοι πιστοί, προσέλθετε..
7*7 = 49
3*16 = 48 Σύνολο : 97 λεπτά του ευρώ.
49-48 = 1 λεπτό της ώρας.
71 λεπτά είναι αρκετά. Ξεκινάμε ανάβοντας 1 μικρό και ένα μεγάλο. Μόλις σβήσει το μικρό ανάβουμε ένα άλλο μικρό. Μόλις σβήσει κι αυτό ανάβουμε ταυτόχρονα 3 μικρά. Μόλις σβήσει το μεγάλο σβήνουμε όλα τα μικρά και έχουμε τρία μικρά των 5 λεπτών. Ανάβουμε 1 από αυτά κι ένα μεγάλο. Μόλις σβήσει το μικρό ανάβουμε το επόμενο των 5 λεπτών και μόλις σβήσει κι αυτό ανάβουμε το τελευταίο των 5 λεπτών. Μόλις σβήσει, σβήνουμε και το μεγάλο που πλέον έχει διάρκεια 1 λεπτού. 5 μικρά + 2 μεγάλα = 35+36=71 λεπτά.
Λάθος πρόσθεση
35+32=67 λεπτά
Εστω χ μεγαλα και ψ μικρα κερια. Αρα ειτε:
Α) 16χ-7ψ=1 => 7ψ=16χ-1=>ψ=(16χ-10)/7 => ψ=2χ+(2χ-1)/7
Αρα: χ=4 και ψ=2*4+(2*4-1)/7=> ψ=9
Σχηματιζουμε δυο σειρες κεριων ( μικρα – μεγαλα) και τ’ αναβουμε το ενα μετα το αλλο.
Οταν σβησει το τελευταιο (9ο) μικρο κερι, το τελευταιο (4ο) μεγαλο θα καιει για ενα λεπτο ακομα.
Ειτε:
Β) 7ψ-16χ=1 => 7ψ=16χ+1 => ψ=(16χ+1)/7 => ψ=2χ+(2χ+1)/7
αρα: χ=3 και ψ=2*3+(2*3+1)/7 => ψ=7
με την ιδια ως ανω διαδικασια. Οταν σβησει το 3ο μεγαλο κερι, το 7ο μικρο θα καιει για ενα λεπτο ακομα.
Ελαχιστο κοστος: χ*16+ψ*7=3*16+7*7=48+49=97 λεπτα.
Καίμε ταυτόχρονα 3 μεγάλα κι ενα μικρό μέχρι το μικρό να τελειώσει και σβήνουμε τα μεγάλα. Έχουμε 3 των εννέα λεπτών.
Καίμε ταυτόχρονα τα 3 των 9′ κι ενα των 7′ μέχρι το μικρό να τελειώσει και σβήνουμε τα μεγάλα. Έχουμε 3 των δύο λεπτών.
Με ένα νέο των 7′ και τα τρία των 2′ μετράμε χρόνο 1′.
Χρησημοποιήσαμε 3 των 16′ και 3 των 7′.
Συνολικό κόστος 69 λεπτά.
Και μια λακωνική του προβλήματος που έχει ως εξής:
Τα πολλαπλάσια των αριθμών 16 και 7 δίνουν τη λύση του προβλήματος.
Ποσότητα: 4 τεμάχια.
Μέγεθος Κεριού:Μεγάλο.
Χρόνοι καύσης:16΄, 32΄, 48΄, 64΄.
Ποσότητα:9 τεμάχια.
Μέγεθος: Μικρό
Χρόνοι Καύσης:7΄, 14΄, 21΄, 28΄, 35΄, 42΄, 49΄, 56΄, 63΄
Διαφορά τελικής καύσης:1΄.
Που είναι και το ζητούμενο της λύσης του προβλήματος.
Το ζητούμενο μπορούμε να το πετύχουμε με 58 λεπτά του ευρώ. Αυτό γίνεται με 1 (16αρι) και 6 (7αρια).
Με ένα 7αρι και ένα 16αρι διαμορφώνουμε κερί 9 λεπτών. Στη συνέχεια παίρνουμε ένα 7αρι και μαζί με το 9αρι διαμορφώνουμε κερί 2 λεπτών. Παίρνουμε δύο 7αρια και με το 2αρι και διαμορφώνουμε δύο κεριά με διάρκεια 5 λεπτών έκαστο. Παίρνουμε στη συνέχεια το ένα 5αρι και διαμορφώνουμε με δύο 7αρια, δύο κεριά διάρκειας 2 λεπτών. Πλέον έχουμε ένα 5αρι και δύο 2αρια.
Γίνεται με λιγότερα λεπτά του ευρώ;
Όχι. Υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις:
1. Τρία 16αρια και ένα 7αρι. Αυτό δίνει:
Α. 9-16-16 που είτε διαμορφώνεται σε 7-16 που είναι αδύνατο, είτε σε 7-7 που είναι αδύνατο επίσης.
Β. 9-16 που είναι αδύνατο είτε 9 αδύνατο επίσης.
2. Δύο 16αρια και ένα 7αρι. Αυτό δίνει
Α. 9-16 αδύνατο
Β. 9 αδύνατο
3. Δύο 16αρια και δύο 7αρια. Αυτό δίνει:
Α. 9-16 , αδύνατο
Β. 9-7-16 αδύνατο
Γ. 9-7 αδύνατο
4. Ένα 16αρι και ένα 7 αρι , αδύνατο γιατί δίνει ένα 9αρι
5. Ένα 16αρι και δυο 7 αρια , αδύνατο γιατί δίνει 9-7 ή 9
6. Ένα 16αρι και τρια 7 αρια , δινει 9-7-7 ή 9-7 ή 9 που είναι αδύνατες περιπτώσεις
7. Ένα 16αρι και τέσσερα 7 αρια , δινει 9-7-7-7 αδύνατο ή 9-7-7 ή 9-7 ή 9
8. Ένα 16αρι και πέντε 7 αρια , 9-7-7-7-7 αδυνατο όπως 9-7-7-7 ή 9-7-7 ή 9-7 ή 9
Η παραπάνω μέθοδος είναι εξαντλητική. Ενδεχομένως μια πιο εύχρηστη σκέψη είναι ότι στο τελικό στάδιο θα πρέπει να έχουμε κεριά με διαφορά καψίματος 1 λεπτού. Θα είναι οικονομικότερο τα κεριά στο τέλος να είναι πιο μικρής αξίας και πολύ κοντά σε αξία μεταξύ τους. Επιπλέον μας συμφέρει να είναι όσο το δυνατό λιγότερα σε πλήθος. Υπό αυτούς τους όρους, πάνω από κεριά του ενός λεπτού, υπάρχουν τα κεριά των δύο λεπτών, όπου 2+2+1=5. Μπορούμε να κατασκευάσουμε όσα 5αρια θέλουμε ακολουθώντας τον τύπο 30+7κ όπου κ από 0,1,2,3…. . Μπορούμε να κατασκευάσουμε τρία 5αρια (30+3*7=51) και μαζί με ένα 7αρι να φτιάξουμε το ζητούμενο διάστημα του ενός λεπτού.
Χρησιμοποιώ 6 7 άρια και 1 16 άρι
Αρχικά καιμε το 16 μαζί με ένα 7
Και έχουμε 9 77777
Μετά καιμε το 9 άρι με ένα 7 Και έχουμε 2 7777
Μετά καιμε το 2 άρι με 2 7 άρια και έχουμε 5 7 7 5
Τέλος και με το 5 Α ρι με τα 2 7 άρια
Και έχουμε 5 2 2
Άρα 5 αρι και 2 στο δίνει 3 και μετά 2 αρι και 3 αρι 1
Άρα 16+6×7=58 ευρω
Οι συνδυασμοί με 1 16 μικρότεροι δεν βγαίνουν
Ο 16 και 7 καταλήγει σε 9
Ο 16 και 2 7 άρια καταλήγει σε 9 και 7
Ο 16 και 3 7 άρια
Σε 9 7 7
Και σε 2 2 η 7 2
Ο 16 και 4 7 άρια
Σε 9 7 7 7
Μετά σε 727
Μετά σε 57 η 55 που προφανώς δεν βγαίνουν
Τέλος ο 16 και 5 7 άρια φτάνει σε 2777
Και μετά έχουμε 555 5 7 7 Και 7 5 5
Που δεν καταλήγουν
Ευχαριστώ θερμά και συγχαίρω όλους τους φίλους! Πολλά μπράβο ιδιαιτέρως στους Κωστή και Μπάτη που σκέφτηκαν και αιτιολόγησαν τη βέλτιστη λύση.
Όσο για την παραλλαγή που πρότεινε ο Κάρλο:
60-5*11 = 5 (καίμε 1 κερί των 60 με 5 κεριά των 11 διαδοχικά)
11-5=6 (καίμε 2 κεριά των 11 παράλληλα με το υπόλειμμα των 5, οπότε παίρνουμε 2 υπολείμματα των 6)
11-6=5 ( καίμε 1 κερί των 11 με το ένα υπόλειμμα των 6)
6-5=1 (καίμε το δεύτερο υπόλειμμα των 6 με το υπόλειμμα των 5)
Κόστος: 1×60 + (5+2+1)×11 = 148 λ.
Ευχαριστώ Θανάση για τη λύση. Μπράβο σου!!
Για την ιστορία στο συγκεκριμένο πρόβλημα υπήρξε μια διαμάχη στη λύση μεταξύ εμού και του κ. Γιώργου Ριζόπουλου. Βλέπε εδώ:
Πηγή http://eisatopon.blogspot.com/2014/10/blog-post_5.html
Οσονόπω θ’ αναρτηθεί κι’ αλλο ένα πρόβλημα με κεριά. Σαραακοστή γαρ!!
Δεν είχε πέσει στην αντίληψή μου το γεγονός, αλλά από ότι βλέπω, θα έλεγα ότι δεν ήταν διαμάχη, αλλά παράδοση του Ριζόπουλου χωρίς μάχη?.
Να είναι καλά ο Λόρενς της Αραβίας όπου κι αν βρίσκεται, μας λείπει..
Κρίμα που δεν συμμετέχει στην παρέα μα. Είναι βαθύς γνώστης των μαθηματικών!! Ελπίζω να παρακολουθεί την ιστοσελίδα και να εμφανισθεί.