Ένα δοχείο περιέχει 4 κόκκινους και 4 πράσινους βόλους και εσείς παίζετε το εξής παιχνίδι:
Τραβάτε στην τύχη από το δοχείο έναν βόλο κάθε φορά, χωρίς επανατοποθέτηση, μέχρι να τους βγάλετε όλους.
Πριν από κάθε τράβηγμα μαντεύετε όσο καλύτερα μπορείτε το χρώμα του βόλου που πρόκειται να τραβήξετε και αμέσως μετά το τράβηγμα βλέπετε το χρώμα του βόλου που τραβήξατε.
Για κάθε σωστή μαντεψιά κερδίζετε 1 € και για κάθε λάθος χάνετε 1 €.
Πόσα € αναμένεται να κερδίσετε ή να χάσετε στο τέλος του παιχνιδιού;
Προτείνω να τεθεί:
“Κάποιος τραβάει στην τύχη…”
για να υπάρχει διαφάνεια και ειλικρίνεια και να είναι αντικειμενικός χωρίς ζαβολιές. Διότι όλο και κάποιο ψέμα θα πουμε στον εαυτό μας για να δικαιολογηθούμε 🙂 🙂
Δε θα είχα αντίρρηση Κάρλο να αλλάξω τη διατύπωση, αν είχα την ελπίδα ότι αυτό θα σε βοηθούσε να αποφύγεις το ‘ψέμα’ στη λύση που θα (αν) σκεφτείς. Αλλά έχω καιρό να το δω και δυσκολεύομαι να βρω τέτοια ελπίδα ??..
Δεν είναι θέμα βοήθειας, αλλά ειλικρίνειας, όπως έγραψα και προηγουμένως .:) 🙂
Σε κάθε τράβηγμα, επιλέγω ως μαντεψιά το χρώμα εκείνο το οποίο υπερτερει σε αριθμό μέσα στο δοχείο. Αν οι βόλοι κάθε χρώματος είναι ισόποσοι, μαντευω τυχαία.
Οριζουμε ως κατάσταση (α,β), τη κατάσταση εκείνη στην οποία υπάρχουν στο δοχείο α βόλοι του ενός χρώματος και β βόλοι του άλλου χρώματος. Και έστω Ρ(α,β), το αναμενόμενο κέρδος (ή ζημία), ξεκινώντας από μία κατάσταση (α,β).
• Για α=κ, (κ=1,2,3 ή 4), β=0, είναι προφανές ότι Ρ(κ,0)=κ, καθώς μπορώ να μαντέψω με βεβαιότητα 1, το χρώμα του βόλου που θα τραβηχτεί σε κάθε προσπάθεια. Αρα, Ρ(κ,0)=κ
• Για α=1, β=1, η πρώτη μαντεψιά είναι τυχαία και υπάρχει ½ πιθανότητα να μαντέψω σωστά και ½ πιθανότητα να μαντέψω λάθος. Στη συνέχεια, βρίσκομαι στη κατάσταση (1,0), με αναμενόμενο κέρδος 1. Επομένως Ρ(1,1)=1/2*(1+1)+1/2*(-1+1)=1
• Για α=2, β=1, με πιθανότητα 2/3 θα μαντέψω σωστά (Ρ=+1) και θα βρεθώ ακολούθως στη κατάσταση (1,1) με αναμενόμενο κέρδος Ρ=+1, ενώ με πιθανότητα 1/3 θα μαντέψω λάθος (Ρ=-1) και ακολούθως θα βρεθώ στη κατάσταση (2,0) με αναμενόμενο κέρδος Ρ=+2. Αρα Ρ(2,1)=2/3*(1+1)+1/3*(-1+2)=5/3
• Για α=3, β=1, με πιθανότητα 3/4 θα μαντέψω σωστά (Ρ=+1) και θα βρεθώ ακολούθως στη κατάσταση (2,1) με αναμενόμενο κέρδος Ρ=+5/3, ενώ με πιθανότητα 1/4 θα μαντέψω λάθος (Ρ=-1) και ακολούθως θα βρεθώ στη κατάσταση (3,0) με αναμενόμενο κέρδος Ρ=+3. Αρα Ρ(3,1)=3/4*(1+5/3)+1/4*(-1+3)=5/2
• Για α=4, β=1, με πιθανότητα 4/5 θα μαντέψω σωστά (Ρ=+1) και θα βρεθώ ακολούθως στη κατάσταση (3,1) με αναμενόμενο κέρδος Ρ=+5/2, ενώ με πιθανότητα 1/5 θα μαντέψω λάθος (Ρ=-1) και ακολούθως θα βρεθώ στη κατάσταση (4,0) με αναμενόμενο κέρδος Ρ=+4. Αρα Ρ(4,1)=4/5*(1+5/2)+1/5*(-1+4)=17/5
• Για α=2, β=2, η πρώτη μαντεψιά είναι τυχαία και υπάρχει ½ πιθανότητα να μαντέψω σωστά και ½ πιθανότητα να μαντέψω λάθος. Στη συνέχεια, βρίσκομαι στη κατάσταση (2,1), με αναμενόμενο κέρδος 5/3. Επομένως Ρ(2,2)=1/2*(1+5/3)+1/2*(-1+5/3)=5/3
• Για α=3, β=2, με πιθανότητα 3/5 θα μαντέψω σωστά (Ρ=+1) και θα βρεθώ ακολούθως στη κατάσταση (2,2) με αναμενόμενο κέρδος Ρ=+5/3, ενώ με πιθανότητα 2/5 θα μαντέψω λάθος (Ρ=-1) και ακολούθως θα βρεθώ στη κατάσταση (3,1) με αναμενόμενο κέρδος Ρ=+5/2. Αρα Ρ(3,2)=3/5*(1+5/3)+2/5*(-1+5/2)=11/5
• Για α=4, β=2, με πιθανότητα 4/6 θα μαντέψω σωστά (Ρ=+1) και θα βρεθώ ακολούθως στη κατάσταση (3,2) με αναμενόμενο κέρδος Ρ=+11/5, ενώ με πιθανότητα 2/6 θα μαντέψω λάθος (Ρ=-1) και ακολούθως θα βρεθώ στη κατάσταση (4,1) με αναμενόμενο κέρδος Ρ=+17/5. Αρα Ρ(4,1)=4/6*(1+11/5)+2/6*(-1+17/5)=44/15
• Για α=3, β=3, η πρώτη μαντεψιά είναι τυχαία και υπάρχει ½ πιθανότητα να μαντέψω σωστά και ½ πιθανότητα να μαντέψω λάθος. Στη συνέχεια, βρίσκομαι στη κατάσταση (3,2), με αναμενόμενο κέρδος 11/5. Επομένως Ρ(3,3)=1/2*(1+11/5)+1/2*(-1+11/5)=11/5
• Για α=4, β=3, με πιθανότητα 4/7 θα μαντέψω σωστά (Ρ=+1) και θα βρεθώ ακολούθως στη κατάσταση (3,3) με αναμενόμενο κέρδος Ρ=+11/5, ενώ με πιθανότητα 3/7 θα μαντέψω λάθος (Ρ=-1) και ακολούθως θα βρεθώ στη κατάσταση (4,2) με αναμενόμενο κέρδος Ρ=+44/15. Αρα Ρ(4,3)=4/7*(1+11/5)+3/7*(-1+44/15)=93/35
• Για α=4, β=4, η πρώτη μαντεψιά είναι τυχαία και υπάρχει ½ πιθανότητα να μαντέψω σωστά και ½ πιθανότητα να μαντέψω λάθος. Στη συνέχεια, βρίσκομαι στη κατάσταση (4,3), με αναμενόμενο κέρδος 93/35. Επομένως Ρ(4,4)=1/2*(1+93/35)+1/2*(-1+93/35)=93/35
Επομένως το αναμενόμενο κέρδος μου είναι 93/35 Ευρώ
Μπορούμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή αν επιχειρήσουμε να “χτίσουμε” πάνω σε προηγούμενες περιπτώσεις.
Αν είχαμε 1-1 τότε η αναμενόμενη τιμή θα ήταν Ε(1-1)=1/2*2+1/2*0=1
Αν είχαμε 2-1 τότε η αναμενόμενη τιμή θα ήταν Ε(2-1)=2/3*(1+Ε(1-1))+1/3*(-1+Ε(1-1))=5/3
Αν είχαμε 2-2 τότε η αναμενόμενη τιμή θα ήταν Ε(2-2)=1/2*(1+Ε(2-1))+1/2*(-1+Ε(2-1))=5/3
Αν είχαμε 3-1 τότε η αναμενόμενη τιμή θα ήταν Ε(3-1)=3/5*(1+Ε(2-1))+2/5*(-1+Ε(3-0))=5/2
…..
Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε
Ε(4-4)=1/2*(1+Ε(4-3))+1/2*(-1+Ε(4-3))=93/35, δηλαδή 2,65 ευρώ περίπου
Διορθώνω
Αν είχαμε 2-1, τότε Ε(2-1)=2/3*(1+Ε(1-1))+1/3*(-1+Ε(2-0))=5/3
Για την πληρότητα της προτεινόμενης λύσης αναφέρω και τις υπόλοιπες αναμενόμενες τιμές της αλυσίδας. Συνολικά έχουμε
Αν είχαμε 1-1 τότε η αναμενόμενη τιμή θα ήταν Ε(1-1)=1/2*2+1/2*0=1
Αν είχαμε 2-1 τότε η αναμενόμενη τιμή θα ήταν Ε(2-1)=2/3*(1+Ε(1-1))+1/3*(-1+Ε(2-0))=5/3
Αν είχαμε 2-2 τότε η αναμενόμενη τιμή θα ήταν Ε(2-2)=1/2*(1+Ε(2-1))+1/2*(-1+Ε(2-1))=5/3
Αν είχαμε 3-1 τότε η αναμενόμενη τιμή θα ήταν Ε(3-1)=3/4*(1+Ε(2-1))+1/4*(-1+Ε(3-0))=5/2
Αν είχαμε 3-2 τότε η αναμενόμενη τιμή θα ήταν Ε(3-2)=3/5*(1+Ε(2-2))+2/5*(-1+Ε(3-1))=11/5
Αν είχαμε 3-3 τότε η αναμενόμενη τιμή θα ήταν Ε(3-3)=1/2*(1+Ε(3-2))+1/2*(-1+Ε(3-2))=11/5
Αν είχαμε 4-1 τότε η αναμενόμενη τιμή θα ήταν Ε(4-1)=4/5*(1+Ε(3-1))+1/5*(-1+Ε(4-0))=17/5
Αν είχαμε 4-2 τότε η αναμενόμενη τιμή θα ήταν Ε(4-2)=4/6*(1+Ε(3-2))+2/6*(-1+Ε(4-1))=44/15
Αν είχαμε 4-3 τότε η αναμενόμενη τιμή θα ήταν Ε(4-3)=4/7*(1+Ε(3-3))+3/7*(-1+Ε(4-2))=93/35
Συνεπώς
Ε(4-4)=1/2*(1+Ε(4-3))+1/2*(-1+Ε(4-3))=93/35, δηλαδή 2,65 ευρώ περίπου
Υπάρχουν C(8,4)=70 τρόποι που μπορούν να τραβηχτούν οι βόλοι.
Η απόδοση του 1ου τραβήγματος είναι 0/70
Η απόδοση του 2ου και του 3ου τραβήγματος είναι 10/70
Η απόδοση του 4ου και του 5ου τραβήγματος είναι 18/70
Η απόδοση του 6ου και του 7ου τραβήγματος είναι 30/70
Η απόδοση του 8ου τραβήγματος είναι 70/70
Συνολική απόδοση 186/70 = 2,657 ευρώ.
Θα πάρουμε τις εξής περιπτώσεις συνδυασμων
Έχουμε ΠΠΠΠ ΚΚΚΚ
Κερδη-απώλειες -1 -1 -1 -1 +1 +1+1+1 =0
+1 -1 -1 -1 +1 +1+1+1 = 2 αθροιστικα εχουμε 2
ΠΚΠΚ
Κερδη-απώλειες ->> Το συνολικό ισοζύγιο είναι 0
ΠΠΚΚ
Κερδη-απώλειες +1-1+1+1
-1-1+1+1 Συνολικα αθροιστικά έχουμε 2
ΚΠΠΚ
+1+1-1+1
-1+1+1+1
+1+1+1+1
-1+1-1+1 ΑΡΑ 8 αθροιστικα
ΚΠΠΠ -> Αθροιστικα 0
ΠΚΠΠ-> 0
ΠΠΠΚ-> -2
Οι υπολοιπες 4 αδες από τους 3 παραπάνω συνδυασμους που ακολουθουν μπορεί να είναι
ΚΚΚΠ ->6
ΠΚΚΚ->2
ΚΠΚΚ->2 αθροιστικα 12
ΚΚΠΚ->2
Αρα οι συνδυασμοι είναι
2(0+8)+2(0+2)=20
2(2+0)+2(2+8)=24
2*(8+0)+2*(8+2)=36
2*(0+12)+2*(0+12)+2(-2+12)=68
Υπαρχουν συνολικά c(8,4)=8!/(4!*4!)=70 συνδυασμοί
Αρα ο καθένας έχει πιθανότητα να εμφανιστεί 1/70
Οπότε (1/70)*(Αθροισμα όλων των ισοζυγίων κάθε δυνατού συνδυασμού)=
(1/70)*(20+24+36+68)=148/70=2.114 αναμενομενο κερδος
Ξεχασα να προσθέσω την περίπτωση
Θα πάρουμε τις εξής περιπτώσεις συνδυασμων
Έχουμε ΠΠΠΠ ΚΚΚΚ
Κερδη-απώλειες -1 -1 -1 -1 +1 +1+1+1 =0
+1 -1 -1 -1 +1 +1+1+1 = 2 αθροιστικα εχουμε 2*2 (γιατι έχουμε είτε 4 πράσινα στην αρχή είτε 4 κόκκινα άρα 2 συνδυασμοι)
Οπότε 148+4=152/70=2.1714 περιπου
Ευχαριστώ θερμά όλους τους φίλους!
Μπάτη, πρέπει να είναι μερικές ακόμα οι περιπτώσεις που έχεις παραλείψει..
Πάνο, δεν αντιλαμβάνομαι πώς κριβώς υπολόγισες τις αποδόσεις σε κάθε βήμα, το τελικό σου αποτέλεσμα πάντως είναι ολόσωστο και μπράβο!
Στράτο, Κωστή, αν ο Θεός ήθελε να περιλάβει το γρίφο στο Βιβλίο του, θα είχε μεγάλο δίλημμα ποιανού από τους δυο σας τη λύση να προτιμήσει!!??
Ναι αυτο βλεπω και γω κατι μου ξεφυγε στο μέτρημα !Δεν πειράζει 🙂