Στον πίνακα είναι γραµµένοι όλοι οι τριψήφιοι αριθµοί µε µη µηδενικά ψηφία που έχουν τις εξής δύο ιδιότητες.
α) Αν σβήσουµε το πρώτο ψηφίο τους, τότε αυτό που µένει είναι τέλειο τετράγωνο και
β) αν σβήσουµε το τελευταίο ψηφίο τους, τότε αυτό που µένει είναι τέλειο τετράγωνο.
Πόσο είναι το άθροισµα όλων αυτών των αριθµών στον πίνακα;
Α) 1013 Β) 1177 Γ) 1465 ∆) 1993 Ε) 2016
Οι αριθμοί είναι 816+649=1465
Οι αριθμοί 164,364,649,816 με άθροισμα 1993.
Δ (164+364+649+816=1993)
Σωστή απάντηση είναι η «Δ». Το άθροισμα όλων των τριψήφιων αυτών των αριθμών στον πίνακα είναι 1.993. Από τους τριψήφιους, χωρίς μεδενικά, αριθμούς όταν αφαιρέσουμε το ψηφίο των μονάδων λαμβάνουμε μένουν τα διψήφια τέλεια τετράγωνα των αριθμών 4, 5, 6, 7, 8, και 9, ήτοι:
16, 25, 36, 49, 64, και 81
οι οποίοι έχουν τη μορφή:
16^p, 25^p, 36^p, 49^p, 64^p, και 81^p
όπου «p» το κατάλληλο ψηφίο κάθε φορά.
(α)Ο 16^p γίνεται τέλειο τετράγωνο όταν σβύσουμε το 1. Τέλειο τετράγωνο της μορφής 6^p είναι μόνο το 64, άρα ο τριψήφιος αριθμός είναι ο 164.
(β)Ο 25^p γίνεται τέλειο τετράγωνο όταν σβύσουμε το 2. Τέλειο τετράγωνο της μορφής 5^p δεν υπάρχει. Άρα τον αγνοούμε.
(γ)Ο 36^p γίνεται τέλειο τετράγωνο όταν σβύσουμε το 3. Τέλειο τετράγωνο της μορφής 6^p είναι μόνο το 64, άρα ο τριψήφιος αριθμός είναι ο 364.
(δ)Ο 49^p γίνεται τέλειο τετράγωνο όταν σβύσουμε το 4. Τέλειο τετράγωνο της μορφής 9^p δεν υπάρχει. Άρα τον αγνοούμε.
(ε)Ο 64^p γίνεται τέλειο τετράγωνο όταν σβύσουμε το 6. Τέλειο τετράγωνο της μορφής 4^p είναι μόνο το 49, άρα ο τριψήφιος αριθμός είναι ο 649.
(στ)Ο 81^p γίνεται τέλειο τετράγωνο όταν σβύσουμε το 8. Τέλειο τετράγωνο της μορφής 1^p είναι μόνο το 16, άρα ο τριψήφιος αριθμός είναι ο 816.
Το άθροισμα είναι:
Σ=164+364+649+816 = 1.993