Σε ένα τουρνουά ποδοσφαιρικών αγώνων, ο νικητής ενός παιχνιδιού κερδίζει 3 πόντους, ο ηττηµένος παίρνει 0 πόντους ενώ στις ισοπαλίες η κάθε οµάδα κερδίζει από 1 πόντο.
Μία οµάδα έπαιξε 38 αγώνες και η συνολική βαθµολογία της ήταν 80 πόντοι.
Πόσο είναι το µεγαλύτερο δυνατό πλήθος αγώνων που µπορεί να έχασε η οµάδα;
Α) 12 Β) 11 Γ) 10 ∆) 9 Ε) 8
Αφού ο αριθμός αγώνων της ομάδας είναι σε κάθε περίπτωση 38, ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός ηττών (η) αντιστοιχεί στο μικρότερο δυνατό άθροισμα των αριθμών νικών (ν) και ισοπαλιών (ι) που δίνουν άθροισμα βαθμών 80. Αφού όμως 1 νίκη ισοδυναμεί βαθμολογικά με 3 ισοπαλίες, χρειαζόμαστε όσο γίνεται περισσότερες νίκες και αντιστοίχως λιγότερες ισοπαλίες. Ισχύει:
3ν+ι=80 => ι=2 (mod3)
Ο μικρότερος μη αρνητικός ακέραιος ισοτιμίας 2 mod3 είναι ο 2, άρα ι=2, ν=(80-2)/3=26 και
η=38-(2+26)=10
Σωστή απάντηση η Γ.
Αν χ νίκες και y ισοπαλίες τότε 3χ+y=80 με λύσεις επιτρεπόμενες τα ζεύγη (χ,y)=(14,38),(15,35),…,(25,5).Μέγιστο αριθμό ηττών από ελάχιστο αριθμό νικών και ισοπαλιών από τη διαφορά ήττες=38-(χ+y) που δίνεται από χ=25, y=5, δηλαδή 8 ήττες.
Το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος αγώνων που μπορεί να έχασε η ομάδα είναι 10 αγώνες (Γ).
Έστω «α» οι νίκες, «β» οι ισοπαλίες, και «γ» οι ήττες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε δύο διοφαντικές εξισώσεις με τρεις αγνώστους:
α+β+γ=38 (1)
3α+1β+0γ=80 (2)
Από την εξίσωση (2), η τρίτη μεταβλητή μηδενίζεται εφόσον ο συντελεστής είναι μηδέν (0), συνάγουμε ότι:
3α+1β+0γ=80 —-> 3α+β=80 —-> 3α=80-β —-> α=(80-β)/3 (3)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των
ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο “β” τις τιμές από το 1 έως το n, βλέπουμε ότι η
μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό “α” είναι ο
αριθμός β = 2 (4), οι άλλες τιμές απορρίπτονται λόγω του ότι η μεταβλητή «γ» πρέπει να είναι μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν.
Αντικαθιστούμε τη τιμή «β» στη (3) κι’ έχουμε:
α=(80-β)/3 —-> α=(80-2)/3 —–> α=78/3 —–> α=26 (5)
Αντικαθιστούμε τις τιμές (4) και (5) στην (1) κι’ έχουμε:
α+β+γ=38 —-> 26+2+γ=38 —-> γ=38-26-2 —–> γ=38-28 —–> γ=10 (6)
Επαλήθευση:
α+β+γ=38 —-> 26+2+10=38
3α+1β+0γ=80 —–>3*26+1*2+0*10=80 —–> 78+2=80 ο.ε.δ.
Πιθανές τριάδες,(Νίκη, Ισοπαλία, Ήττα) είναι :
(21,17,0) , (22,14,2) , (23,11,4), (24,8,6) , ( 25,5,8) , (26,2,10).
Απ’ αυτές το ΜΕΓΙΣΤΟ πλήθος ηττών της ομάδας φαίνεται στην έκτη τριάδα ότι είναι 10.
Σημείωση:
Η φιλοσοφία της λύσης του προβλήματος στηρίζεται στα προβλήματα των 100 πτηνών που αναφέρει ο Leonardo Pisano (Fibonacci = ο ίδιος αποκαλούσε τον εαυτό του Fibonacci, σύντμηση του Filius και Bonacci (γιος του Bonacci), από το όνομα του πατέρα του) στο βιβλίο του με τίτλο «Liber Abaci» – «Βιβλίο Υπολογισμών», 1202
Για ποιο Δαρβίνο μου λες τώρα, ένας είναι ο Κάρλο ?!