Ο γρίφος της ημέρας – (για καλούς λύτες)

...2

Η Μαρία επέλεξε δυο αριθμούς από το σύνολο {1,2,3,…,16,17}.

Το  γινόμενο των δυο αριθμών  είναι ίσο με το άθροισμα των υπολοίπων δεκαπέντε αριθμών του συνόλου.

Ποιο είναι το άθροισμα των δυο αριθμών που επέλεξε η Μαρία;

2 σχόλια

  1. Carlo de Grandi

    Το άθροισμα των δύο αριθμών είναι 23. (10+13). Έστω «α» και «β» οι δύο αριθμοί που επέλεξε η Μαρία από το σύνολο των 17 αριθμών.
    Το σύνολο των 17 αριθμών ισούται με:
    Σο=[(α+τ)*ν]/2 —-> Σο=[(1+17)*17]/2 —-> Σο=(18*17)/2 —-> Σο=9*17 —-> Σο=153 (1)
    Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
    α*β=Σο-(α+β) (2)
    Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι’ έχουμε:
    α*β=Σο-(α+β) —-> α*β=153-(α+β) —-> 153=α*β+α+β
    Προσθέτουμε τον αριθμό 1 και στα δύο μέλη κι’ έχουμε:
    153=α*β+α+β —–> 153+1=α*β+α+β+1 —–> 154=(α+1)*(β+1) (3)
    Οι (α+1) , (β+1) είναι διαιρέτες του 154 και είναι μεγαλύτεροι ή ίσοι του 2 και μικρότεροι ή ίσοι του 18..
    Αναλύουμε τον αριθμό 154 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
    154 = 2*77, 7*22, 11* 14
    Το γινόμενο που ικανοποιεί τη συνθήκη του προβλήματος είναι το (11*14)
    Άρα α = 10 και β = 13 ή α = 13 και β = 10
    Επαλήθευση:
    α*β=Σο-(α+β) —-> 10*13=153-10-13 —-> 130=153-10-13

  2. Μάνος Κοθρής

    Έστω χ,ψ οι δύο ακέραιοι αριθμοί που επέλεξε η Μαρία με 0<χ<ψ<18
    1+2+…+17 = χ*ψ+χ+ψ
    χ*ψ+χ+ψ = 153
    χ*ψ+χ+ψ +1= 154
    (χ+1)(ψ+1)=2*7*11
    χ+1 = 11 και ψ+1=14
    χ=10 και ψ=13

Απάντηση