Σε ένα πρωτάθλημα μπάσκετ δύο γύρων, κάθε νίκη δίνει 2 βαθμούς και κάθε ήττα 0.
Μία ομάδα τερμάτισε πρώτη και μόνη με 26 βαθμούς και ανακηρύχθηκε πρωταθλήτρια και δύο ακριβώς ομάδες τερμάτισαν τελευταίες με 20 βαθμούς και υποβιβάστηκαν.
Πόσες το πολύ ήττες είχε η ομάδα που κέρδισε το πρωτάθλημα και πόσες τουλάχιστον ήττες κάθε ομάδα που υποβιβάστηκε;
Αν ν είναι οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα, τότε έγιναν συνολικά ν^2 – ν αγώνες. Η κάθε ομάδα έδωσε 2(ν-1) αγώνες και πήρε τόσους βαθμούς όσους και οι νίκες που έκανε.
Από τα δεδομένα έχουμε 1 ομάδα με 26 βαθμούς και 2 ομάδες με 20 βαθμούς. Άρα όλες οι υπόλοιπες ομάδες συγκέντρωσαν είτε 24 είτε 22 βαθμούς.
Για ν=11 έχουμε 110 αγώνες από τον υπολογισμό αλλά τουλάχιστον 121 αγώνες βάσει των δεδομένων, οπότε το ενδεχόμενο αποκλείεται. Η διαφορά γίνεται ακόμα μεγαλύτερη για μικρότερα ν.
Αν ν=13 έχουμε 156 αγώνες από τον υπολογισμό αλλά το πολύ 153 αγώνες βάσει των δεδομένων, οπότε το ενδεχόμενο αποκλείεται. Η διαφορά γίνεται ακόμα μεγαλύτερη για μεγαλύτερα ν.
Η μόνη δυνατή λύση είναι για ν=12, με 132 αγώνες από τον υπολογισμό και βάσει των δεδομένων. Σε αυτή τη λύση έχουμε 13 νίκες – 9 ήττες για τη νικήτρια ομάδα και 10 νίκες – 12 ήττες για τις δύο τελευταίες.
Εστω ν ο αριθμός των ομάδων. Τότε η κάθε ομάδα έδωσε 2*(ν-1) αγώνες και οι συνολικοί αγώνες που δόθηκαν, άρα και οι νίκες που επιτεύχθηκαν ήταν ν*(ν-1). Επομένως, ο μέσος όρος νικών κάθε ομάδας ήταν (ν-1)
Η πρώτη ομάδα πήρε 26 βαθμούς, άρα έκανε 13 νίκες. Οι δύο τελευταίες πήραν 20 βαθμούς, άρα έκαναν από 10 νίκες
Είναι προφανές ότι ο μέσος όρος νικών (ν-1) οφείλει να είναι μικρότερος από τον αριθμό νικών του πρώτου και μεγαλύτερος από τον αριθμό νικών του τελευταίου. Δηλαδή:
13>(ν-1)>10, επομένως ν=12, ή ν=13
Εάν ν=13, δόθηκαν συνολικά 13*12=156 αγώνες. Εφ’όσον η πρώτη και οι δύο τελευταίες ομάδες έκαναν συνολικά 13+10+10=33 νίκες, οι υπόλοιπες δέκα έκαναν συνολικά 123 νίκες. Αυτό σημαίνει ότι υπήρξε και άλλη ομάδα που έκανε περισσότερες από 12 νίκες, πράγμα που αποκλειεται από την εκφώνιση
Εάν ν=12, δόθηκαν συνολικά 12*11=132 αγώνες. Οπότε οι ενδιάμεσες 9 ομάδες πήραν συνολικά 132-33=99 νίκες. Αυτό σημαίνει ότι οι 9 άλλες ομάδες έκαναν από 11 νίκες, καθώς καμία άλλη ομάδα, πλην των δύο τελευταίων δεν έκανε 10 νίκες ή λιγοτερες.
Επομένως, εφ’όσον η κάθε μία από τις 12 ομάδες έδωσε 2*11=22 αγώνες, η ομάδα που κέρδισε το πρωτάθλημα ειχε 9 ήττες και οι ομάδες που υποβιβάστηκαν είχαν 12 ήττες
Συνολικά σε ένα πρωτάθλημα με ν ομάδες, αυτές μοιράζονται συνολικά 2*ν*(ν-1) βαθμούς. Παρατηρούμε ότι εφόσον υπάρχουν μόνο νίκες και ήττες το σύνολο των βαθμών που κερδίζει η κάθε ομάδα είναι ζυγός αριθμός. Οι 26 βαθμοί αντιστοιχούν σε 13 νίκες και οι 20 βαθμοί σε 10. Επομένως οι υπόλοιπες ομάδες έχουν είτε 22 είτε 24 βαθμούς.
Έστω κ οι ομάδες με 24 και λ με 22 βαθμούς αντίστοιχα.
Ο συνολικός αριθμός των ομάδων είναι 3+κ+λ
Ισχύει 26+20+20+24*κ+22*λ=(κ+λ+3)*(κ+λ+2)=> 27+7κ+6λ=(κ+λ)^2. Ψάχνοντας τις τιμές των τετραγώνων από το 6^2=36 και έπειτα η μόνη τιμή που μας κάνει είναι (κ+λ)^2=81. 27+7κ+6λ=81=> 6(κ+λ)+κ=54 με κ+λ=9, κ=0 και λ=9.
Φτιάχνεται μόνο μια βαθμολογία με σύνολο ομάδων 12, σύνολο πόντων 2*12*11=264
Βαθμολογία
Ομάδα 1 , βαθμοί 26, νίκες 13, ήττες 9
Ομάδες (2-10), βαθμοί 22, νίκες 11, ήττες 11
Ομάδες (11-12), βαθμοί 20, νίκες 10, ήττες 12
Γράφω πιο αναλυτικά γιατί οι περιπτώσεις με τις 11 και τις 13 ομάδες δεν είναι συμβατές με τα δεδομένα του προβλήματος:
Στις 11 ομάδες θέλουμε να κατέβουμε στους 110 αγώνες βάσει τύπου. Οι λιγότεροι βαθμοί που μπορούν να συγκεντρωθούν βάσει των δεδομένων του προβλήματος είναι:
26 για την ομάδα που πήρε την 1η θέση
22 για τις ομάδες που πήραν τις θέσεις 2-9
20 για τις ομάδες που πήραν τις θέσεις 10-11.
Αυτοί οι βαθμοί αντιστοιχούν σε 121 αγώνες, δηλαδή περισσότερους από τους 110 που πρέπει να γίνουν.
Στις 13 ομάδες θέλουμε να ανέβουμε στους 156 αγώνες βάσει τύπου. Οι περισσότεροι βαθμοί που μπορούν να συγκεντρωθούν βάσει των δεδομένων του προβλήματος είναι:
26 για την ομάδα που πήρε την 1η θέση
24 για τις ομάδες που πήραν τις θέσεις 2-11
20 για τις ομάδες που πήραν τις θέσεις 12-13.
Αυτοί οι βαθμοί αντιστοιχούν σε 153 αγώνες, δηλαδή λιγότερους από τους 156 που πρέπει να γίνουν.
Αν ν οι ομάδες χ οι ομάδες με 24 βαθμούς y με 22 βαθμούς θα είναι
24χ+22y+66=2ν(ν-1) και χ+y+3=ν. Από τις σχέσεις αυτές έχω y+3=13ν-ν^2 μεγαλύτερο ίσο 3 άρα ν<13.Με 12 ομάδες η πρώτη έκανε 13 νίκες και 9 ήττες και κάθε τελευταία 10 νίκες και 12 ήττες. Κάθε άλλη περίπτωση καταλήγει σε άτοπο.
Εξαιρετικοί άπαντες, εύγε!