Ο γρίφος της εβδομάδας – Πάρτι για μικρούς και μεγάλους

1. Σε ένα παιδικό πάρτι, κάθε αγόρι έδωσε μία καραμέλα σε κάθε κορίτσι και κάθε κορίτσι έδωσε μία καραμέλα σε κάθε αγόρι. Στη συνέχεια κάθε αγόρι έφαγε 2 καραμέλες και κάθε κορίτσι έφαγε 3 καραμέλες. Αν φαγώθηκαν το 1/4 των καραμελών που ανταλλάχτηκαν, πόσα παιδιά το πολύ ήταν στο πάρτι;

2. Δέκα παντρεμένα ζευγάρια κανόνισαν ένα πάρτι. Προσήλθαν στο πάρτι ένας – ένας με κάποια σειρά, χωρίς τα μέλη κάθε ζευγαριού να έφτασαν απαραίτητα μαζί. Κάθε άτομο που έφτανε πρότεινε χειραψία σε κάθε άλλο άτομο που είχε φτάσει νωρίτερα εκτός από τον/την σύζυγό του. Αφού μαζεύτηκαν όλοι, κάποιο από τα άτομα του πάρτι ρώτησε τα υπόλοιπα άτομα πόσες χειραψίες πρότειναν αμέσως μόλις έφτασαν στο πάρτι και πήρε από το καθένα διαφορετική απάντηση. Πόσες χειραψίες μπορεί να πρότεινε φτάνοντας στο πάρτι το άτομο που ρώτησε;

θανάσης

8 thoughts on “Ο γρίφος της εβδομάδας – Πάρτι για μικρούς και μεγάλους

  1. 1. Έστω α τα αγόρια και κ τα κορίτσια.
    Κάθε αγόρι έδωσε κ καραμέλες και κάθε κορίτσι α.
    Συνολικά δόθηκαν (2ακ) καραμέλες.
    Κάθε αγόρι έφαγε 2 καραμέλες και κάθε κορίτσι 3.
    Συνολικά φαγώθηκαν (2α + 3κ) καραμέλες.
    4*(2α + 3κ) = 2ακ ή 4α + 6κ = ακ ή ακ – 6κ = 4α ή (α – 6)κ = 4α ή κ = 4α/(α – 6)
    ή κ = 4 + 24/(α – 6)
    Είναι α > 6 και (α – 6) διαιρέτης του 24,
    Άρα α = 7 ή 8 ή 9 ή 10 ή 12 ή 14 ή 18 ή 20 και αντίστοιχα
    κ = 28 ή 16 ή 12 ή 10 ή 8 ή 7 ή 6 ή 5
    α + κ = 35 ή 24 ή 21 ή 20 ή 25
    Επομένως ήταν το πολύ 35 παιδιά στο παιδικό πάρτυ.

    2. Αν κάποιος ερχόταν στο πάρτυ μετά το ταίρι του θα έκανε ακριβώς τον ίδιο αριθμό από χειραψίες προτείνοντας το χέρι του με τον προηγούμενό του.
    Τέτοια άτομα υπάρχουν 2 στο πάρτυ (αφού καθένας που ρωτήθηκε έδωσε διαφορετική απάντηση) και ο ένας είναι αυτός που έκανε τις ερωτήσεις.
    Για να συμβεί αυτό θα πρέπει στους 10 πρώτους που προσήλθαν να μην υπήρχε ζευγάρι και ο 10ος ή ο 11ος που ρώτησε να έκανε 9 χειραψίες.

  2. 1.Αν αγόρια=χ, κορίτσια=ψ το κάθε αγόρι έδωσε ψ καραμέλες και το κάθε κορίτσι χ.Άρα τα αγόρια είχαν χψ καραμέλες και τα κορίτσια το ίδιο.Όλα τα αγόρια έφαγαν 2χ καραμέλες και τα κορίτσια 3ψ.Οι καραμέλες που ανταλλάχθηκαν ήταν 2χψ και φαγώθηκαν χψ/2.Άρα χ ή ψ άρτιος.Επίσης φαγώθηκαν 2χ+3ψ καραμέλες άρα 4χ+6ψ=χψ ή (ψ-4)(χ-6)=24.Δοκιμάζοντας τους διαιρέτες του 24 το μεγαλύτερο άθροισμα χ+ψ=35 δίνουν οι χ=30 και ψ=5 ή αντίστροφα.Άρα στο πάρτι ήταν το πολύ 35 παιδιά.

  3. 2.Για να συμβεί το ζητούμενο θα πρέπει τα 19 άτομα να έχουν κάνει διαφορετικό αριθμό χειραψιών και το 20ό που θα ρωτήσει τα άλλα να έχει κάνει ίδιο αριθμό χειραψιών με κάποιο από τα 19.Μπορούμε να φθάσουμε στο 10ο άτομο με διαφορετικό αριθμό χειραψιών, αλλά το 11ο θα αναγκαστεί να έχει ίδιο αριθμό χειραψιών με το 10ο, γιατί σίγουρα θα είναι ο/η σύζυγός του στα 10 προηγούμενα.Ο αριθμός αυτός θα είνα 9.

  4. Παράκληση: Όποιος δεν ξέρει τις λύσεις των γρίφων που προτείνει, ας μην αναζητεί πρόθυμους ή μη λύτες σε αναρτήσεις άλλων.

  5. 1. Αν α είναι τα αγόρια και κ τα κορίτσια τότε ανταλλάχθηκαν 2ακ καραμέλες και φαγώθηκαν 2α+3κ καραμέλες.
    Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε 2α+3κ = (1/4)*2ακ ==> ακ=4α+6κ.
    Λύνοντας ως προς κ έχουμε κ = 4α/(α-6) άρα για να είναι το κ θετικός πρέπει α>6.
    Λύνοντας ως προς α έχουμε α = 6κ/(κ-4) άρα για να είναι το α θετικός πρέπει κ>4.
    Τα α,κ είναι ακέραιοι, οπότε ψάχνουμε τον μέγιστο αριθμό α+κ στο διάστημα α=[7,30] και κ=[5,28], ο οποίος προκύπτει για (α,κ)=(7,28) ή (α,κ)=(30,5) που και στις δύο περιπτώσεις είναι το 35. Άρα 35 το πολύ παιδιά ήταν στο πάρτι.

    2. Οι απαντήσεις που πήρε αυτός που ρώτησε ήταν όλοι οι αριθμοί από 0 έως 18.
    Ο μόνος τρόπος για να συνέβη αυτό είναι αυτός που ρώτησε να πρότεινε τον ίδιο αριθμό χειραψιών με κάποιον άλλον. Επιπλέον, θα πρέπει να πέρασαν πρώτα όλοι οι άντρες και μετά όλες οι γυναίκες ή το αντίστροφο, αλλιώς θα είχαμε κάποιο κενό στην αρίθμηση. Τελικά αυτός που ρώτησε είναι είτε το 10ο άτομο του ίδιου φύλλου που πέρασε 10ος είτε το πρώτο άτομο του αντίθετου φύλλου που πέρασε 11ος. Σε κάθε περίπτωση αυτός που ρώτησε πρότεινε 9 χειραψίες.

  6. 1. Εστω α ο αριθμός των αγοριών και κ ο αριθμός των κοριτσιών. Τότε ανταλλάχτηκαν συνολικά 2ακ καραμέλες και φαγώθηκαν συνολικά 2α+3κ καραμέλες. Αρα
    2α+3κ=1/4(2ακ), ή 4α+6κ=ακ
    Αναζητούμε τον μέγιστο αριθμό παιδιών στο πάρτυ, Χ=α+κ, όπου α και κ φυσικοί αριθμοί
    Αντικαθιστώντας το κ με Χ-α, έχουμε τελικά:
    Χ=α(α-2)/(α-6). Αντικαθιστώντας (α-6)=β, εχουμε
    Χ=(β+6)(β+4)/β, ή Χ=β+10+24/β
    Επομένως οι δυνατές τιμές του β είναι οι διαιρέτες του 24 (1,2,3,4,6,8,12,24), και η τιμή του Χ γινεται μέγιστη για β=1, ή β=24, οπότε Χ=35
    Αρα ο μεγιστος αριθμός παιδιών είναι Χ=35, εκ των οποίων τα αγόρια είναι β+6, δηλαδή είτε 7 είτε 30, και τα κορίτσια είτε 28, είτε 5

    2. Εφ’όσον κανένας δεν μπορούσε να χαιρετήσει την (τον) συζυγο του, οι δυνατές χειραψίες που μπορεί να έδωσε κάποιος είναι από 0-18. Εφ’όσον το άτομο που ρώτησε πήρε από τους υπόλοιπους 19 διαφορετικές απαντήσεις, έπεται ότι πήρε ακριβώς τις απαντήσεις 0,1,2…18
    Επομένως, οι υπόλοιποι 18 καλεσμένοι πρότειναν συνολικά 18*19/2=171 χειραψίες.
    Αν δεν υπήρχε ο περιορισμός του να μην προτείνει κανείς χειραψία στον/στην σύζυγο του, οι συνολικές χειραψίες μεταξύ των 20, θα ήταν 0+1+2+….+19=19*20/2=190
    Με τον περιορισμό που τίθεται, αφαιρούνται 10 χειραψίες (οι μεταξύ συζύγων). Αρα ο συνολικός αριθμός χειραψιών που δόθηκαν είναι 190-10=180
    Αρα, το άτομο που ρώτησε, προτεινε 180-171=9 χειραψίες

  7. Πρόβλημα 1
    Έστω Κ οι καραμέλες των κοριτσιών κ Α των αγοριών. Ο μέγιστος αριθμών καραμελών που ανταλλάχθηκαν είναι 2ΚΑ. Στη συνέχεια φαγώθηκαν ΚΑ/2=3Κ+2Α => ΚΑ=6Κ+4Α. Παρατηρούμε ότι το Κ πάντα θα είναι μεγαλύτερο του 4 κ το Α μεγαλύτερο του 6. Επιπλέον παρατηρούμε ότι όσο μεγαλώνει το Κ μικραίνει το Α κ το αντίστροφο. Τα πιθανά ζευγάρια Α-Κ είναι 30-5, 18-6, 14-7, 12-8, 10-10, 9-12, 8-16, 7-28. Άρα το μέγιστο δίνεται σε δυο περιπτώσεις με άθροισμα 35.
    Πρόβλημα 2
    Εφόσον πήρε διαφορετικές απαντήσεις κ αφού εξαιρέσουμε την απαντηση “19” που σημαίνει ότι καποιος πρότεινε χειραψία σε ολους συμπεριλαμβανομενου του συντρόφου του, κατάσταση μη επιτρεπτή, πλέον οι απαντήσεις που ακούστηκαν είναι οι 0,1,2…18. Για να γίνει αυτό θα πρέπει να έφτασε ένα μέλος από κάθε ζευγάρι κ αφού έφτασαν οι δέκα πρώτοι στη συνέχεια να ήρθαν τα έτερα μέλη των ζευγαριών. Στην περίπτωση αυτή ο μόνος αριθμός χειραψιών που επαναλαμβάνεται είναι ο αριθμός 9 που είναι οι χειραψίες που πρότεινε αυτός που ρώτησε και είναι είτε ο 10ος είτε ο 11ος που μπήκε μέσα.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Next Post

Νίκη Κεραμέως: Παράταση για το Μηχανογραφικό 2019 – Διαδικασίες για τις προσλήψεις Ειδικής Αγωγής

Κυ Ιούλ 14 , 2019
Facebook15TwitterGoogle+Pinterest0

Επικοινωνία



kbour@sch.gr, 

kbour@omathimatikos.gr



Κώστας Μπουραζάνας 

τηλ: 0030 6937754165



Αρέσει σε %d bloggers: