1. Σε μια σχολική τάξη φοιτούν 10 κορίτσια, 11 μαθητές (ανεξαρτήτως φύλου) μαθαίνουν γαλλικά, ενώ οι υπόλοιποι μαθητές μαθαίνουν γερμανικά. Τα κορίτσια που μαθαίνουν γαλλικά και τα αγόρια που μαθαίνουν γερμανικά είναι συνολικά 16, ενώ όσοι μαθητές δεν είναι κορίτσια που μαθαίνουν γαλλικά είναι επίσης 16.
Πόσα αγόρια φοιτούν στην τάξη;
2. Σε μια σχολική τάξη, κάθε μαθητής έχει τρεις φίλους, οποιοιδήποτε δύο φίλοι δεν έχουν κανέναν κοινό φίλο και οποιοιδήποτε δύο μη φίλοι έχουν ακριβώς έναν κοινό φίλο.
Πόσους μαθητές έχει συνολικά η τάξη;
1. Αν Α είναι τα αγόρια, Dα και Dκ είναι τα αγόρια και τα κορίτσια που μαθαίνουν γερμανικά αντίστοιχα και Fα και Fκ είναι τα αγόρια και τα κορίτσια που μαθαίνουν γαλλικά αντίστοιχα, τότε από τα δεδομένα προκύπτει το παρακάτω σύστημα 5 εξισώσεων με 5 αγνώστους:
Dκ + Fκ = 10
Fα + Fκ = 11
Dα + Dκ = Α – 1
Fκ + Dα = 16
Dα + Dκ + Fα = 16
το οποίο έχει λύση την: Α=13, Dα=9, Dκ=3, Fα=4, Fκ=7.
Άρα τα αγόρια είναι 13.
2. Αν φτιάξουμε ένα γράφημα όπου οι μαθητές είναι οι κόμβοι του και οι σχέσεις φιλίας οι ακμές του, τότε από τα δεδομένα του προβλήματος απαγορεύονται οι σχηματισμοί τριγώνων και τετραγώνων μεταξύ των μαθητών. Με βάση λοιπόν μία πενταγωνική διάταξη μαθητών όπου ο καθένας συνδέεται με έναν νέο μαθητή, είναι δυνατόν να ικανοποιηθούν τα δεδομένα του προβλήματος και το σύνολο των μαθητών να είναι 10.
1.Ισχύουν ΚΓα+ΚΓε=10, ΚΓα+ΑΓα=11 (1), ΚΓα+ΑΓε=16, άρα αν ΑΓα=χ τότε ΑΓε=χ+5.Επίσης ΚΓε+Α=16 (2. Η (1) γίνεται
10-ΚΓε+χ=11 άρα ΚΓε=χ-1. Η (2) γίνεται χ-1+2χ+5=16 άρα χ=4 που σημαίνει ότι τα αγόρια είναι 13.
1. Στην τάξη φοιτούν 13 αγόρια.
Έστω x αγόρια και 10 κορίτσια (συνολικά x + 10 μαθητές)
KF : κορίτσια που μαθαίνουν Γαλλικά
ΑF : αγόρια που μαθαίνουν Γαλλικά
ΑG : αγόρια που μαθαίνουν Γερμανικά
ΚF + AF = 11 (1)
KF + AG = 16 (2)
KF = (x + 10) – 16 ή KF = x – 6 (3)
Από (2) και (3) έχουμε AG = 22 – x (4)
Από (1) και (4) έχουμε AF = 17 – x (5)
Από (4) και (5) έχουμε x = (22 – x) + (17 – x) ή 3x = 39 ή x = 13 αγόρια
Δεν μου χρειάστηκε ότι οι υπόλοιποι μαθητές μαθαίνουν Γερμανικά.
2. Η τάξη έχει 10 μαθητές.
Έστω ότι ο 1 έχει φίλους τους 2, 3 και 4.
Τα ζευγάρια (2,3) , (2,4) και (3,4) έχουν κοινό φίλο τον 1, άρα δεν μπορούν να έχουν και άλλο κοινό φίλο.
Άρα ο 2 έχει φίλους τους 1, 5, 6, ο 3 έχει τους 1, 7, 8 και ο 4 τους 1 , 9, 10.
Με 10 μαθητές τηρούνται οι προϋποθέσεις ως εξής :
1 –> 2 , 3 , 4
2 –> 1 , 5 , 6
3 –> 1 , 7 , 8
4 –> 1 , 9 , 10
5 –> 2 , 7 , 9
6 –> 2 , 8 , 10
7 –> 3 , 5 , 10
8 –> 3 , 6 , 9
9 –> 4 , 5 , 8
10 –> 4 , 6 , 7
1. Οι μαθητές είναι 10
Παρατηρούμε τα εξής:
Α. Κάθε μαθητής έχει τρείς φίλους.
Β. Οποιοιδήποτε δύο φίλοι δεν μπορούν να έχουν έναν κοινό φίλο. Επομένως για κάθε μαθητή, υπάρχουν τουλάχιστον 6 άλλοι μαθητές (οι δύο άλλοι φίλοι καθενός από τους τρείς φίλους του), οι οποίοι δεν είναι φίλοι του.
3. Οποιοιδήποτε δύο μη φίλοι έχουν εναν κοινό φίλο. Επομένως, και λαμβάνοντας υπ’όψιν το Β ανωτέρω, για κάθε μαθητή δεν μπορούν να είναι περισσότεροι από 6 οι μη φίλοι του.
Συνδυάζοντας τα ανωτέρω, συμπεραίνουμε ότι κάθε μαθητής έχει 3 φίλους και 6 μη φίλους, δηλαδή το σύνολο των μαθητών είναι 10.
Παρακάτω φαίνεται μια δυνατή διάταξη των σχέσεων μεταξύ των δεκα μαθητών, όπου Φ σημαίνει Φίλος, και ο αριθμός σε κάθε κελί δείχνει τον κοινό φίλο. Για παράδειγμα, ο μαθητής υπ’αρ. 1, έχει φίλους τους μαθητές υπ’αρ 2,3 και 4, και εχει τον 2 κοινό φίλο με τους 5 και 6, τον 3 κοινό φίλο με τους 7 και 9, και τον 4 κοινό φίλο με τους 8 και 10.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 Φ Φ Φ 2 2 3 4 3 4
2 Φ 1 1 Φ Φ 5 5 6 6
3 Φ 1 1 7 9 Φ 9 Φ 7
4 Φ 1 1 8 10 10 Φ 8 Φ
5 2 Φ 7 8 2 Φ Φ 8 7
6 2 Φ 9 10 2 10 9 Φ Φ
7 3 5 Φ 10 Φ 10 5 3 Φ
8 4 5 9 Φ Φ 9 5 Φ 4
9 3 6 Φ 8 8 Φ 3 Φ 6
10 4 6 7 Φ 7 Φ Φ 4 6
2. Τα αγόρια είναι 13.
Εστω α1 και α2 ο αριθμός των αγοριών που μαθαίνουν γαλλικά και γερμανικά αντίστοιχα, και κ1, κ2 οι αντίστοιχοι αριθμοί των κοριτσιών.
Από τα δεδομένα της εκφώνησης έχουμε:
κ1+κ2=10
α1+κ1=11
κ1+α2=16
α1+α2+κ2=16
Λύνοντας το ανωτέρω σύστημα, προκύπτει:
α1=4, α2=9, κ1=7, κ2=3. Αρα τα αγόρια είναι α1+α2=13
Εξαιρετικές όλες οι λύσεις, θερμά συγχαρητήρια στους φίλους!
Πολύ σύντομα:
1. Αν χ ο αριθμός κοριτσιών που μαθαίνουν γαλλικά, όσοι μαθητές δεν είναι κορίτσια που μαθαίνουν γαλλικά είναι:
(16-χ)+(11-χ)+(10-χ)=16 => χ=7
Επομένως η τάξη έχει συνολικά 7+16=23 μαθητές και τα αγόρια είναι 23-10=13.
2. Ας πάρουμε έναν μαθητή Μ. Κάθε άλλος μαθητής είναι διαζευκτικά φίλος του Μ ή φίλος φίλου του Μ. Ο Μ έχει 3 φίλους και καθένας τους έχει, εκτός του Μ, 2 ακόμα φίλους. Επομένως η τάξη έχει 1+3+3×2 = 10 μαθητές.