Ο γρίφος της εβδομάδας – Παιχνίδια της τύχης..

1. Μια σακούλα περιέχει έναν βόλο που είναι πράσινος ή κόκκινος. Προσθέτουμε στη σακούλα έναν πράσινο βόλο, ανακατεύουμε, τραβάμε στην τύχη έναν βόλο και βλέπουμε ότι είναι πράσινος. Ποια είναι η πιθανότητα ο βόλος που παραμένει στη σακούλα να είναι κι αυτός πράσινος;

 

2. Στις συνεδριάσεις ενός συμβουλίου, τα 7 μέλη του κάθονται σε 7 αριθμημένες θέσεις γύρω από ένα στρογγυλό τραπέζι. Πριν από κάθε συνεδρίαση, οι θέσεις όπου θα καθίσουν τα μέλη καθορίζονται ως εξής: Γίνεται μία κλήρωση μεταξύ των 7 μελών και άλλη μία κλήρωση μεταξύ των 7 θέσεων και το μέλος που κληρώνεται πηγαίνει στη θέση που κληρώνεται. Στη συνέχεια η ίδια διαδικασία επαναλαμβάνεται μεταξύ των υπόλοιπων 6 μελών και των υπόλοιπων 6 θέσεων κ.ο.κ. μέχρι να καθίσουν όλοι. Αν είστε μέλος του συμβουλίου, ποια είναι η πιθανότητα  τη στιγμή που πηγαίνετε στην θέση σας, και οι δύο θέσεις αριστερά και δεξιά της δικής σας, να είναι ακόμα κενές;

 

3. Η Άννα, ο Βασίλης και ο Γιάννης έπαιξαν μεταξύ τους μια σειρά από  παρτίδες τάβλι. Δύο από αυτούς έπαιξαν την πρώτη παρτίδα, στη συνέχεια ο νικητής της πρώτης παρτίδας έπαιξε με τον τρίτο, έπειτα ο νικητής της δεύτερης παρτίδας έπαιξε με τον χαμένο της πρώτης, έπειτα ο νικητής της τρίτης με τον χαμένο της δεύτερης κ.ο.κ. Γνωρίζουμε ότι συνολικά η Άννα έπαιξε 15 παρτίδες, ο Βασίλης 10 και ο Γιάννης 17, αλλά δεν ξέρουμε ποιος έπαιξε σε ποιες. Ποια είναι η πιθανότητα η Άννα να έπαιξε και στις 7 πρώτες παρτίδες;

4 σχόλια

  1. pantsik

    1. Ορίζω τα ενδεχόμενα:
    Τ = ο βόλος που τραβήξαμε είναι πράσινος
    Π = ο βόλος που παραμένει είναι πράσινος
    P(Π και Τ) = 1/2 γιατί αυτό συμβαίνει μόνο όταν ο αρχικός βόλος είναι πράσινος και σε αυτό το ενδεχόμενο, ελλείψει περισσότερων στοιχείων, αποδίδουμε πιθανότητα 1/2.
    Ρ(Τ) = (1/2)*1 + (1/2)*(1/2) = 3/4
    Ο τύπος της δεσμευμένης πιθανότητας δίνει:
    Ρ(Π / Τ) = Ρ(Π και Τ) / Ρ(Τ) = (1/2) / (3/4) = 2/3.
    Άρα εάν η πιθανότητα να ήταν ο αρχικός βόλος πράσινος είναι 1/2 τότε η πιθανότητα να παραμείνει στη σακούλα πράσινος βόλος είναι 2/3.

    2. Εγώ κάποια στιγμή θα κληρωθώ να κάτσω στη θέση x. Η θέση στα αριστερά μου θα είναι η x-1 και η θέση στα δεξιά μου η x+1. Η κάθε μία από τις 3 αυτές θέσεις έχει πιθανότητα 1/3 να καταληφθεί πρώτη σε σχέση με τις άλλες 2. Αν καταληφθεί πρώτη η θέση x-1 ή η θέση x+1 τότε όταν έρθει η σειρά μου να κάτσω στη θέση x θα έχω ήδη κάποιον δίπλα μου. Αν όμως καταληφθεί πρώτα η θέση x από εμένα, τότε τη στιγμή που θα κάτσω δεν θα έχω κανέναν δίπλα μου. Άρα η πιθανότητα να συμβεί το ζητούμενο είναι 1/3.

    3. Συνολικά έγιναν (15+10+17)/2 = 21 παιχνίδια. Αφού ο Γ έπαιξε σε 17 από αυτά, σε 4 παιχνίδια έπαιξαν η Α με τον Β. Αφού η Α έπαιξε σε 15 από αυτά, σε 6 παιχνίδια έπαιξαν ο Β με τον Γ. Στα υπόλοιπα 11 παιχνίδια έπαιξαν η Α με τον Γ. Παρακάτω συμβολίζω με ΑΓ το παιχνίδι της Άννας με τον Γιάννη, κ.ο.κ.
    Για να έχουμε τον ζητούμενο αριθμό παιχνιδιών ανά παίκτη θα πρέπει η ακολουθία ΑΓ,ΒΓ να επαναλαμβάνεται 6 φορές, η ακολουθία ΑΓ,ΑΒ να επαναλαμβάνεται 4 φορές και το τελευταίο παιχνίδι να είναι ΑΓ. Έτσι αν συμβολίσουμε την ακολουθία ΑΓ,ΒΓ με 0 και την ακολουθία ΑΓ,ΑΒ με 1, μπορούμε να μετασχηματίσουμε την ακολουθία των παιχνιδιών σε έναν δυαδικό αριθμό 10 ψηφίων όπου τα 6 από αυτά να είναι 0 και τα 4 από αυτά είναι 1. Το πλήθος αυτών των δυαδικών αριθμών είναι C(10,4)=210.
    Οι ευνοϊκές περιπτώσεις, δηλαδή αυτές που έχουν την Άννα στις 7 πρώτες παρτίδες, είναι αυτές που έχουν στα τρία πρώτα ψηφιά του δυαδικού μας αριθμού το 1 (6 φορές παίζει η Α από τις 3 επαναλήψεις της ακολουθίας ΑΓ,ΑΒ και μία φορά στο επόμενο παιχνίδι που είναι αναγκαστικά ΑΓ). Υπάρχουν τελικά 7 ευνοϊκές περιπτώσεις, όσοι και οι δυαδικοί μας αριθμοί που έχουν 1 στις τρεις πρώτες θέσεις και ακόμα ένα 1 σε μία από τις υπόλοιπες 7 θέσεις.
    Οπότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με 7/210 = 1/30.

  2. ΚΣ

    Πρόβλημα 1.Υιοθετώντας τον τύπο της δεσμευμένης πιθανότητας https://el.wikiversity.org/wiki/%CE%94%CE%B5%CF%83%CE%BC%CE%B5%CF%85%CE%BC%CE%AD%CE%BD%CE%B7_%CF%80%CE%B9%CE%B8%CE%B1%CE%BD%CF%8C%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1
    με δεδομένο ότι έχουμε πράσινο βόλο στα χέρια μας, ισχύει
    (1/2)*1/(1/2+1/4)=2/3
    Πρόβλημα 2=> Για να βρούμε την τελική πιθανότητα αρκεί να αθροίσουμε τις επιμέρους πιθανότητες να ικανοποιήσω το ζητούμενο και να έχω κληρωθεί
    1ος=> 1/7
    2ος=> 1/21 (1/7*1/7*1/6*1/6*4*6*7)
    3ος=>2/35
    4ος=>1/35
    5ος=>1/105
    Συνολικά πιθανότητα να ικανοποιήσω το ζητούμενο είναι 1/3

    Πρόβλημα 3=> Συνολικά παίχτηκαν 15+10+17=42/2=21 παιχνίδια. Εφόσον ο Γ έχει παίξει 17 σημαίνει ότι οι Α-Β έχουν παίξει 4 μόνοι τους. Αυτό σημαίνει ότι Β-Γ έχουν παίξει 6 παιχνίδια (6+4=10 για τον Β) και συνεπώς Α-Γ 11 παιχνίδια. Παρατηρούμε ότι κανέναν ζευγάρι δεν μπορεί να παίξει δύο φορές διαδοχικά. Αυτό σημαίνει ότι οι Α-Γ έπαιξαν σε όλα τα μονά παιχνίδια, 1-3-5-7…21. Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να έχουμε και τις 7 πρώτες παρτίδες με Α μας αρκεί να τοποθετήσουμε Α-Β τρεις φορές (στις θέσεις 2, 4, 6) και στις υπόλοιπες θέσεις να παίξουν τα 6 ζευγάρια Β-Γ και το 1 ζευγάρι Α-Β. Αυτό γίνεται με 7/(10!/(6!*4!))=1/30 **Αφού είναι δεδομένο ότι οι μονές θέσεις είναι κατειλημμένες από το Α-Γ οι συνολικές περιπτώσεις είναι 10!/(6!*4!)=210

  3. batman1986

    Γρίφος 1

    Εδω έχουμε τα εξής ενδεχόμενα

    Είτε Π 1 Π2
    Είτε Κ Π2

    Όμως σύμφωνα με την εκφώνηση ο δειγματικός χώρος περιορίζεται από τη στιγμή που έχουμε το γεγονός ” τραβάμε στην τύχη έναν βόλο και βλέπουμε ότι είναι πράσινος”

    Αρα έχουμε τραβήξει 2ο είτε το Π1 είτε το Π2 της 1ης περίπτωσης

    Οπότε τα ευνοικά ενδεχόμενα είναι 2 από τα 3 συνολικά (Να τραβήξουμε είτε το Π1 είτε το Π2 στην 1η περίπτωση είτε το Κ στην 2η περίπτωση)

    Αρα η πιθανότητα είναι (2/3)

    Εναλλακτικά με δεσμευμένη προκύπτει P=(Να παραμένει πράσινη / δεδομένου ότι τραβηξα παράσινο αρχικα)= p(τομη ενδεχομένων)/p(πιθανότητα η 1η να είναι πρα΄σινη)=

    =(2/4)/(3/4)=(2/3)

    Γρίφος 2

    Εχω έχουμε το εξής αθροισμα

    Να κληρωθεί με την 1η , με την 2η …,5η

    Αν κληρωθεί στην 6η και 7η σίγουρα θα έχει κάποιο άτομο δίπλα του άρα η πιθανότητα σε αυτές τις περιπτώσεις ειναι μηδενική

    Εχουμε

    P= (1/7)*1(αφου 100 % δεν εχει κάποιον διπλα του + (6/7)*(1/6)*((4*7)/(c(7,2)*2)) πιθανότητα να αποτύχει στην 1η και μετά να πετύχει σε συγκεκριμένες θέσεις όμως) +
    (6/7)*(5/6)*(1/5)*((c(4,2)*7))/(c(7,3)*3) +(6/7)*(5/6)*(4/5)*(1/4)*((c(4,3)*7))/(c(7,4)*4) +
    (6/7)*(5/6)*(4/5)*(3/4)*(1/3)*((c(4,4)*7))/(c(7,5)*5)

    p=(1/7)+ (2/21)+ (2/35)+ (1/35)+ (1/105)= (35/105)= (1/3)

  4. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Εξαιρετικές έως μαγικές οι προσεγγίσεις των φίλων, μπράβο!!
    Να δώσουμε μόνο μια απλή εξήγηση της δεσμευμένης πιθανότητας στο 1:

    Αν ο αρχικός βόλος ήταν κόκκινος, η πιθανότητα να τραβήξω πράσινο θα ήταν 1/2, ενώ αν ήταν πράσινος, η πιθανότητα θα ήταν 1. Ο λόγος πιθανοτήτων των δύο ενδεχομένων είναι 1:2, συνεπώς ο βόλος που απομένει είναι κόκκινος με πιθανότητα 1/3 και πράσινος με πιθανότητα 2/3.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *