Σε ένα ερημωμένο νησί ζούνε 13 πράσινοι χαμαιλέοντες, 15 κίτρινοι χαμαιλέοντες και 17 κόκκινοι χαμαιλέοντες.
Όταν δύο διαφορετικού χρώματος συναντιούνται, αλλάζουν και οι δύο στο τρίτο χρώμα (π.χ. αν συναντηθούν ένας πράσινος με έναν κίτρινο θα αλλάξουν και οι δύο το χρώμα τους σε κόκκινο).
Υπάρχει ακολουθία με την οποία αν συναντηθούν ζευγάρια μεταξύ τους, θα έχουν όλοι οι χαμαιλέοντες του νησιού το ίδιο χρώμα;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr
Προσθέτουμε στον αρχικό πληθυσμό χαμαιλεόντων κίτρινου χρώματος το διπλάσιο του αρχικού πληθυσμού χαμαιλεόντων κόκκινου χρώματος. Αν το αποτέλεσμα αυτής της πράξης είναι Α, τότε έχουμε αρχικά Α = 15+2*17 = 49 ≡ 1mod3.
Σε κάθε συνάντηση δύο χαμαιλεόντων διαφορετικού χρώματος, θα συμβεί ένα από τα εξής τρία ενδεχόμενα:
α) αν οι χαμαιλέοντες που συναντώνται είναι ο ένας κίτρινος και ο άλλος κόκκινος, η μεταβολή στην τιμή Α θα είναι -1+2*(-1)= -3.
β) αν οι χαμαιλέοντες που συναντώνται είναι ο ένας πράσινος και ο άλλος κίτρινος, η μεταβολή στην τιμή Α θα είναι -1+2*(+2)= +3.
γ) αν οι χαμαιλέοντες που συναντώνται είναι ο ένας κόκκινος και ο άλλος πράσινος, η μεταβολή στην τιμή Α θα είναι +2+2*(-1)= 0.
Επομένως, η τιμή Α σε οποιουδήποτε είδους συνάντηση δύο χαμαιλεόντων διαφορετικού χρώματος παραμένει αμετάβλητη ως προς την ισοτιμία της mod3, άρα παραμένει σταθερά 1mod3.
Για να έχουν όμως τελικά και οι 45 χαμαιλέοντες το ίδιο χρώμα, θα πρέπει να είναι
Α = 45+2*0 = 45 ≡ 0mod3 ή
Α = 0+2*45 = 90 ≡ 0mod3 ή
Α = 0+2*0 = 0 ≡ 0mod3.
Σε κάθε περίπτωση, η τελική τιμή Α πρέπει να είναι ισοτιμίας 0mod3. Εφόσον όμως η τιμή αυτή παραμένει σταθερά σε ισοτιμία 1mod3, το ζητούμενο είναι αδύνατο.