1. Ο Πασκάλ και ο Φερμά ρίχνουν εναλλάξ ένα κέρμα, με πρώτο τον Πασκάλ.
Ο Πασκάλ κάθε φορά που ρίχνει ο ίδιος το κέρμα κερδίζει 1 πόντο αν φέρει κορώνα και 0 αν φέρει γράμματα.
Ο Φερμά κάθε φορά που ρίχνει ο ίδιος το κέρμα κερδίζει 1 πόντο αν φέρει γράμματα και 0 αν φέρει κορώνα. Κανένας τους δεν κερδίζει ή χάνει πόντους από ρίψη του άλλου παίχτη.
Το παιχνίδι τελειώνει όταν ο ένας από τους δύο καταφέρει να έχει περισσότερους πόντους από τον άλλο, οπότε και κερδίζει το παιχνίδι.
Αν οι πιθανότητες του καθενός να κερδίσει το παιχνίδι είναι ίσες, ποια είναι η πιθανότητα να φέρει το κέρμα κορώνα σε μια ρίψη;
2. Έχουμε δύο ζάρια χωρίς αριθμούς στις έδρες τους και σε έναν σάκο 12 χαρτάκια με τους αριθμούς 1,2,3,4,5,6 από δύο φορές τον καθένα.
Τραβάμε τυχαία ένα-ένα τα χαρτάκια από το σάκο και τα κολλάμε επίσης τυχαία το καθένα σε μια διαθέσιμη έδρα ενός από τα δύο ζάρια, έτσι ώστε στο τέλος κάθε έδρα κάθε ζαριού να έχει πάνω της έναν αριθμό.
Αν τώρα ρίξουμε τα δυο ζάρια, ποια είναι η πιθανότητα να φέρουν άθροισμα 7;
Πρόβλημα 1=> Αν p είναι η πιθανότητα να έχουμε κορώνα και 1-p να έχουμε γράμματα, τότε η πιθανότητα νίκης για τον Πασκάλ είναι
Π = p^1*(1-p)^0 + p^2*(1-p)^1 + p^3*(1-p)^2 + …
και η πιθανότητα νίκης του Φερμά είναι
Ν(Φ) = (1-p)^2 + p^1*(1-p)^3 + p^2*(1-p)^4 + …
Και οι δύο πιθανότητες είναι αθροίσματα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου που για τον Πασκάλ είναι ίσο με p/(1-p(1-p)) και για τον Φερμά (1-p)^2/(1-p(1-p))
Αυτά τα αθροίσματα είναι ίσα, εξισώνουμε και έχουμε p= 0.381966
Πρόβλημα 2=> Στην ουσία έχουμε την εμφάνιση ενός αριθμού διψήφιου μετά το ρίξιμο των ζαριών. Αυτό μπορεί να γίνει με 12*11=132 τρόπους. Από αυτούς μας κάνουν οι 24 που δίνουν άθροισμα 7 και συνεπώς η ζητούμενη πιθανότητα είναι 2*12/11*12=2/11
1. Αν ΠΑ είναι η πιθανότητα να κερδίσει ο Πασκάλ, ΦΕ είναι η πιθανότητα να κερδίσει ο Φερμά και p η πιθανότητα να φέρει το ζάρι Κορώνα, τότε ισχύουν οι εξισώσεις:
ΠΑ = p + (1-p)*p*ΠΑ
ΦΕ = (1-p)*(1-p) + (1-p)*p*ΦΕ
Θέλουμε να ισχύει ΠΑ = ΦΕ (=1/2) οπότε λύνοντας ως προς p παίρνουμε p = [3-sqrt(5)]/2 ~ 0,382
Πολύ σωστά, Κωστή και Πάνο, μπράβο!
Μια διαφορετική προσέγγιση στο 2 θα μπορούσε να είναι και η εξής:
Έστω ότι το πρώτο ζάρι φέρνει τον αριθμό ν, με ν από 1 έως 6. Για να έλθει το άθροισμα των δύο ζαριών 7, αρκεί το δεύτερο ζάρι να φέρει τον αριθμό 7-ν. Μεταξύ των 11 χαρτακιών που μπορεί ισοπίθανα να έχουν κολληθεί στην πάνω έδρα που φέρνει το δεύτερο ζάρι, τα 2 φέρουν τον αριθμό 7-ν. Επομένως, η ζητούμενη πιθανότητα είναι 2/11.