Ο γρίφος της εβδομάδας – 2019.. για λίγο ακόμα

1. Βρείτε τον 2019ο κατά αύξουσα σειρά μεγέθους θετικό ακέραιο που δεν εκφράζεται ως διαφορά τετραγώνων δύο ακεραίων.

 2. Έστω Ω το σύνολο των θετικών ακέραιων διαιρετών του αριθμού 48. Ποια από τα τετραμελή υποσύνολα του Ω είναι περισσότερα, αυτά που το γινόμενο των στοιχείων τους είναι μεγαλύτερο από 2019 ή αυτά που το γινόμενο των στοιχείων τους είναι μικρότερο από 2019;

6 σχόλια

  1. ΚΔ

    1.Aπό την ταυτότητα (ν+1)^2-ν^2=2ν+1 βλέπουμε ότι όλοι οι περιττοί φυσικοί γράφονται με το ζητούμενο τρόπο. Όμοια από την ταυτότητα (ν+2)^2-ν^2=4ν+4, γράφονται έτσι και τα πολλαπλάσια του 4. Θα δείξω ότι οι φυσικοί της μορφής 4ν+2 δεν μπορούν να γραφτούν όμοια. Αν α^2-β^2=4ν+2 τότε με κάθε μορφή α,β 4ν, 4ν+2 ή 4ν+3, 4ν+1 δεν καταλήγω στο επιθυμητό 4ν+2. Οι φυσικοί 2, 6, 10,… είναι δο ΑΠ με α1=2, ω=4 και α2019=2+2018*4=8074.

  2. Manos

    1.
    Από την ταυτότητα (n + 1)^2 – n^2 = 2n + 1, έχουμε ότι όλοι οι περιττοί αριθμοί εκφράζονται σαν διαφορά τετραγώνων.
    Από την ταυτότητα (n + 1)^2 – (n – 1)^2 = 4n, έχουμε ότι όλα τα πολλαπλάσια του 4 εκφράζονται σαν διαφορά τετραγώνων.
    Οι άρτιοι αριθμοί που δεν είναι πολλαπλάσια του 4 δεν μπορούν να εκφραστούν σαν διαφορά τετραγώνων διότι ποτέ γράφονται σαν γινόμενο δύο άρτιων.
    Επομένως αναζητούμε τον 2019ο όρο της ακολουθίας αν = 4*ν – 2
    α2019 = 4*2019 – 2 = 8074

    2.
    Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 16 , 24 , 48}
    Από τα 210 υποσύνολα των τεσσάρων στοιχείων, τα 113 έχουν το γινόμενο των στοιχείων τους μεγαλύτερο από 2019 και τα 97 υποσύνολα έχουν το γινόμενο των στοιχείων τους μικρότερο από 2019.

  3. ΚΔ

    2.Στο Ω ανήκουν οι 1,2,3,4,6,8,12,24,48 και μόνο αυτοί. Με αυτούς φτιάχνω 10 ανά 4 τετράδες, δηλαδή 210. Θα βρω τις τετράδες με γινόμενο μεγαλύτερο του 2.019. Με τα 48,24 σταθερά δημιουργούνται 8 ανά 2=28 τέτοιες τετράδες, με τα 48 και 16 σταθερά υπάρχουν 7 ανά 2 εκτός μιας (1 και 2) δηλαδή 20, με τα 48 και 12 σταθερά υπάρχουν 6 ανά 2 εκτός δύο (1,2 και 1,3) δηλαδή 13, με τα 48 και 8 σταθερά υπάρχουν 5 ανά 2 εκτός τριών δηλαδή 7, με τα 48 και 6 σταθερά υπάρχουν 2. Όμοια με τα 24 και 16 σταθερά υπάρχουν 18, με τα 24 και 12 σταθερά 10, με τα 24 και 8 σταθερά 4 και με τα 16 και 12 σταθερά 8. Αθροιστικά αυτές ξεπερνούν το 105, που είναι οι μισές. Άρα οι τετράδες με άθροισμα 2.019 είναι περισσότερες από αυτές με μικρότερο.

  4. ΚΣ

    Πρόβλημα 1 => χ^2-ψ^2=(χ+ψ)*(χ-ψ)
    Αν χ+ψ=κ και χ-ψ=λ => χ=(κ+λ)/2 και ψ=(κ-λ)/2
    Άρα κάθε μονός αριθμός Μ μπορεί να εκφραστεί ως διαφορά τετραγωνων αφού αυτος μπορεί να γραφεί ως 1*Μ και πλέον χ=(Μ+1)/2 και ψ=(Μ-1)/2 , όπου χ και ψ είναι ακέραιοι αφού Μ+1 και Μ-1 είναι ζυγοί αριθμοί.
    Δεν μπορούν όλοι οι ζυγοί Ζ να γραφτούν ως διαφορά τετραγώνων και αυτό αφορά αυτούς που γράφονται στη μορφή 2*Κ όπου Κ είναι μονός αριθμός. Ο λόγος είναι ότι αφενός η περίπτωση του Ζ=1*Ζ δεν μπορεί να ισχύσει όπως στους μονούς και αφετέρου αν Ζ=2*Κ με Κ μονό δεν μπορούμε να έχουμε χ,ψ ακέραιους ενώ ταυτοχρόνως οι εν λόγω αριθμοί Ζ δεν μπορούν να εκφραστούν σε μορφή γινομένου με άλλον τρόπο εκτός από τους δύο που έχουμε δει.
    Πλέον η λιστα αυτών των αριθμών περιλαμβάνει 2,6,10,14,18,22….
    Ο 2019ος όρος είναι ο 8074

    Πρόβλημα 2=> Αναγκαστικά κάθε τετραμελές σύνολο ξεπερνά το 2019 αν έχει τουλάχιστον ένα εκ των 48 ,24,16,12 αφού 1*2*3*4*6*8 =1152
    Τα τετραμελή σύνολα που έχουν το 48 και ξεπερνούν το 2019 είναι 70
    Τα τετραμελή σύνολα που έχουν το 24 ως μεγαλύτερο αριθμό και ξεπερνούν το 2019 είναι 32
    Τα τετραμελή σύνολα που έχουν το 16 ως μεγαλύτερο αριθμό και ξεπερνούν το 2019 είναι 10
    Τα τετραμελή σύνολα που έχουν το 12 ως μεγαλύτερο αριθμό και ξεπερνούν το 2019 είναι 1
    Συνολικά 113.
    Το σύνολο των τετραμελών συνόλων σε 10 στοιχεία είναι C(10,4)=210, συνεπώς τα τετραμελή μικρότερα του 2019 είναι 97.

  5. pantsik

    1. Λήμμα α: Όλοι οι μονοί αριθμοί γράφονται σαν διαφορά δύο τετραγώνων ακεραίων.
    Απόδειξη: Αν α ακέραιος, τότε (α+1)^2 – α^2 = 2α+1 ο οποίος είναι μονός.

    Λήμμα β: Όλα τα πολλαπλάσια του 4 γράφονται σαν διαφορά δύο τετραγώνων ακεραίων.
    Απόδειξη: Αν α ακέραιος, τότε (α+2)^2 – α^2 = 4(α+1) που είναι πολλαπλάσιο του 4.

    Λήμμα γ: Δεν υπάρχει διαφορά δύο τετραγώνων ακεραίων που να είναι πολλαπλάσιο του 2 αλλά όχι του 4.
    Απόδειξη: Έχουμε την εξίσωση κ^2 – α^2 = 2ν που αλλιώς γράφεται (κ+α)(κ-α)=2ν και προκύπτει πως δεν μπορεί οι παράγοντες κ+α και κ-α να είναι και οι δύο μονοί. Επίσης από τη φύση τους δεν μπορούν να είναι ο ένας μονός και ο άλλος ζυγός. Οπότε μπορεί να είναι μόνο και οι δύο ζυγοί, αλλά το γινόμενο δύο ζυγών αριθμών είναι πάντοτε πολλαπλάσιο του 4.

    Αρα η λίστα των θετικών ακεραίων που δεν γράφονται ως διαφορά δύο τετραγώνων ακεραίων, αρχίζει από 2,6,10,14,18, κλπ. Ο 2019ος αριθμός της λίστας είναι ο 2019*4-2, δηλαδή ο αριθμός 8074.

  6. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Πολύ σωστά, 8074 στο 1.
    Στο 2 επίσης πολύ σωστά και θα δώσω μόνο μία διαφορετική λύση, χωρίς μετρήματα των περιπτώσεων:

    Αν μία τετράδα {α,β,γ,δ} μπορεί να χωριστεί δε δύο ξένα μεταξύ τους ζευγάρια με γινόμενο 48 το καθένα, τότε το γινόμενο της τετράδας είναι 48*48 = 2304 > 2019. Έστω χ το πλήθος αυτών των τετράδων.
    Διαφορετικά, παίρνουμε και την τετράδα {48/α, 48/β, 48/γ, 48/δ}, η οποία μαζί με την {α,β,γ,δ} δίνουν γινόμενο οκτάδας 48^4, άρα η μία από τις δύο τετράδες έχει σίγουρα γινόμενο μεγαλύτερο ή ίσο του 48^2>2019. Έστω ψ το πλήθος αυτών των τετράδων.
    Από τα παραπάνω προκύπτει ότι το πλήθος των τετράδων με γινόμενο μεγαλύτερο από 2019 είναι τουλάχιστον χ+ψ/2 > (χ+ψ)/2, δηλαδή μεγαλύτερο από το μισό του συνόλου των τετράδων, άρα αυτές είναι οι περισσότερες.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *