1. Ένας μαθητής θέλει να πληκτρολογήσει όσο γίνεται περισσότερους θετικούς ακέραιους, ξεκινώντας από το 1, αλλά επειδή το πλήκτρο με το 2 είναι χαλασμένο παραλείπει όλους τους ακέραιους που περιέχουν το ψηφίο 2.
Την πρώτη μέρα πληκτρολόγησε 5000 αριθμούς.
Ποιος είναι ο τελευταίος από αυτούς;
2. Δυο περιπατητές, ο Α και ο Β, κινούνται παράλληλα σε μια γραμμή τρένου.
Ένα τρένο περνάει τον Α σε 10 δεύτερα, σε 20 ακόμα λεπτά φτάνει τον Β και τον περνάει κι αυτόν σε 9 δεύτερα. Αν οι ταχύτητες του τρένου και των περιπατητών είναι σταθερές, σε πόσο χρόνο αφ’ ότου το τρένο πέρασε τον Β θα συναντηθούν οι δύο περιπατητές;
Αν χρειάζεται, διακρίνετε περιπτώσεις.
Ο τελευταίος αριθμός που πληκτρολόγησε είναι ο 7.896
Πιο συγκεκριμένα διθαπιστώνουμε ότι σε κάθε 100αδα αριθμών δε γράφει 19 (2,12,20-29,32,42,52,62,72,82,92) αριθμούς, ενώ στη χιλιάδα δε γράφει 271 αριθμούς (9 Χ 19 από κάθε 10αδα +100 της 200αδας) δηλαδή γράφει 729!
Αντίστοιχα δε γράφει καθόλου την 2η χιλιάδα (2000-2999)
Αν τα βάλουμε όλα κάτω και αν δε έχω κάνει κάποιο λάθος στις αθροίσεις προκύπτει το νούμερο 7.896
🙂
1.
Σε κάθε δεκάδα «χάνει» 1 ακέραιο και γράφει τους υπόλοιπους 9, με εξαίρεση τη δεκάδα του 20 που «χάνει» και τους 10.
Σε κάθε εκατοντάδα «χάνει» 19 ακέραιους και γράφει τους υπόλοιπους 81, με εξαίρεση τη δεκάδα του 200 που «χάνει» και τους 100.
Σε κάθε χιλιάδα «χάνει» 271 ακέραιους και γράφει τους υπόλοιπους 729, με εξαίρεση τη δεκάδα του 2000 που «χάνει» και τους 1000.
Η διαίρεση του 5000 δια 729 δίνει πηλίκο 6 και υπόλοιπο 626, άρα 6+1 = 7 το ψηφίο των χιλιάδων (το +1 για την χιλιάδα του 2000)
Η διαίρεση του 626 δια 81 δίνει πηλίκο 7 και υπόλοιπο 59, άρα 7+1 = 8 το ψηφίο των εκατοντάδων (το +1 για την εκατοντάδα του 200)
Η διαίρεση του 59 δια 9 δίνει πηλίκο 6 και υπόλοιπο 5, άρα 6+1 = 7 το ψηφίο των δεκάδων (το +1 για την δεκάδα του 20)
5+1 = 6 το ψηφίο των μονάδων (το +1 διότι ξεκινάει από το 1)
Επομένως ο τελευταίος αριθμός που πληκτρολόγησε είναι το 7876.
2.
Έστω ότι :
υΑ = η ταχύτητα του Α περιπατητή (σε m/s),
υΒ = η ταχύτητα του Β περιπατητή (σε m/s),
υΤ = η ταχύτητα του τρένου (σε m/s),
x = το μήκος του τρένου (σε m),
S = η απόσταση (σε m) που απέχουν οι περιπατητές όταν το τρένο προσπερνά τον Β περιπατητή
t0 = ο χρόνος που ζητείται (σε sec).
Το τρένο προσπερνά τον περιπατητή Α σε 10΄΄, άρα x = (υΤ – υΑ)*10 (1)
Το τρένο προσπερνά τον περιπατητή Β σε 9΄΄, άρα x = (υΤ – υΒ)*9 (2)
Από (1) και (2) έχουμε υΤ = 10*υΑ – 9*υΒ (3)
Από (1) και (3) έχουμε x = 90*(υΑ – υΒ) (4)
Επίσης S = (υΑ – υΒ)*t0 (5)
Αν πάρουμε σαν σημείο αναφοράς το σημείο που το τρένο φτάνει τον Α (t = 0),
τότε σε 1219΄΄ ο Α έχει διανύσει 1219*υΑ μέτρα, το τρένο 1219*υΤ μέτρα και ισχύει
1219*υΑ + S + x = 1219*υΤ
Από (3), (4) και (5) έχουμε :
1219*υΑ + (υΑ – υΒ)*t0 + 90*(υΑ – υΒ) = 1219*(10*υΑ – 9*υΒ)
ή (υΑ – υΒ)*t0 = (υΑ – υΒ)*10881
Άρα t0 = 10881΄΄
Δηλαδή οι περιπατητές θα συναντηθούν σε 3 ώρες 1΄ και 21΄΄.
1. Από τους μονοψήφιους θα πληκτρολογήσει 8, από τους 99-9=90 διψήφιους 72 (9 σε κάθε 10άδα επί 8 10άδες), από τους 999-99=900 τριψήφιους 648 (81 σε κάθε 100άδα επί 8 100άδες) και από τις 5 πρώτες επιτρεπόμενες 1000άδες 3645 (729 σε κάθε 1000άδα). Συνολικά έχει γράψει 8+72+648+3645=4373 ακέραιους και έχει φθάσει στον 6999. Με τις επόμενες 6 100άδες θα φθάσει στον 7699 και θα έχει γράψει 4859 ακέραιους. Με τις επόμενες 15 10άδες θα φθάσει στον 7869 και θα έχει γράψει 4994 ακέραιους. Έτσι ο 5000ός θα είναι ο 7876.
2.Θα εξετάσω την περίπτωση το τρένο και ο Α να κινούνται προς τα δεξιά και ο Β προς τα αριστερά. Στην αρχή των 10΄΄ η θέση του Α συμπίπτει με την αρχή του τρένου, που έχει μήκος λ και ο Β βρίσκεται σε απόσταση ΑΒ. Στο τέλος των 10΄΄ η θέση του Α, Α΄ συμπίπτει με το τέλος του τρένου, η αρχή του τρένου είναι στο Κ και ο Β στο Β΄. Ισχύουν ΑΑ΄=10υΑ, ΑΚ=10υΤ, Α΄Κ=λ, ΒΒ΄=10υΒ. Επίσης είναι ΑΒ=10υΑ+Α΄Β΄+10υΒ, λ=10υΤ-10υΑ (1) και Α΄Β΄=λ+1200υΤ+1200υΒ. Στο τέλος των 1200΄΄ ο Α είναι στο Α΄΄ με Α΄Α΄΄=1200υΑ, η αρχή του τρένου και ο Β στο Β΄΄ με ΒΒ΄΄=1200υΒ, ΚΒ΄΄=1200υΤ και ισχύουν ΚΑ΄΄=Α΄Α΄΄-λ=1200υΑ-λ, Α΄΄Β΄΄=ΚΒ΄΄-ΚΑ΄΄=1200υΤ-1200υΑ+λ (3). Στο τέλος των 9΄΄ ο Α είναι στο Α΄΄΄ με Α΄΄Α΄΄΄=9υΑ, ο Β και το τέλος του τρένου στο Β΄΄΄ με Β΄΄Β΄΄΄=9υΒ και το τρένο έχει δινύσει διάστημα 9υΤ με 9υΒ+9υΤ=λ (2). Από (1), (2) υΤ=9υΒ+10υΑ. Τότε λ=90υΑ+90υΒ και η (3) γίνεται Α΄΄Β΄΄=10890υΑ+10890υΒ. Τελικά είναι Α΄΄΄Β΄΄΄=Α΄΄Β΄΄-Α΄΄Α΄΄΄-Β΄΄Β΄΄΄=10881υΑ+10881υΒ. Το διάστημα αυτό θα διανυθεί σε χρόνο τ με υΑ*τ+υΒ*τ=10881υΑ+10881υΒ, άρα τ=10881΄΄.
2. Aν οι Α, Β κινούνται ομόρροπα ο Α είναι ταχύτερος, εφόσον το τρένο τον περνάει σε μεγαλύτερο χρόνο. Με το ίδιο σκεπτικό (τώρα είναι υΤ=10υΑ-9υΒ) καταλήγω ότι το χρονικό διάστημα για να συναντηθούν οι Α, Β είναι πάλι 10881΄΄.
1. Παρατηρούμε ότι:
Υπάρχουν 9 (=9^1) μονοψήφιοι αριθμοί που δεν περιέχουν το 2 (λείπει 1)
Υπάρχουν 81(=9^2) διψήφιοι αριθμοί που δεν περιέχουν το 2 (λείπουν 19)
Υπάρχουν 729 (=9^3) τριψήφιοι αριθμοί που δεν περιέχουν το 2 (λείπουν 271)
Εστω Χ ο ζητούμενος αριθμός, της μορφής αβγδε, δηλαδή
Χ=1000*α+100*β+10*γ+δ. Θεωρώντας ότι α,β,γ,δ > 1, τότε
Στις α χιλιάδες, λείπουν 271*(α-1)+1000 αριθμοί που περιέχουν το 2
Στις β εκατοντάδες, λείπουν 19*(β-1)+100 αριθμοί που περιέχουν το 2
Στις γ δεκάδες, λείπουν 9*(γ-1)+10 αριθμοί που περιέχουν το 2
Στις δ μονάδες, λείπει 1 αριθμός (το 2)
Επομένως οι αριθμοί που λείπουν είναι 271*(α-1)+19*(β-1)+(γ-1)+1111=Χ-5000
Θέτοντας Χ=1000*α+100*β+10*γ+δ, βρίσκουμε:
α=7
β=8
γ=7
δ=6
Αρα ο τελευταίος αριθμός είναι ο Χ=7.876
2. Θέτουμε:
Τα τη ταχύτητα του Α
Τβ τη ταχύτητα του Β
Ττ τη ταχύτητα του τρένου
Μ το μήκος του τρένου
Κ την απόσταση μεταξύ Α και Β, όταν το τρένο συναντά τον Α
Ολοι οι χρόνοι νοούνται σε δευτερόλεπτα. Θέτουμε:
Χ= η σχετική ταχύτητα τρένου ως προς τον Α (Ττ-Τα ή Ττ+Τα), ανάλογα με το αν το τρένο κινείται ομόρροπα ή αντίρροπα προς τον Α)
Υ= η σχετική ταχύτητα τρένου ως προς τον Β (Ττ-Τβ ή Ττ+Τβ), ανάλογα με το αν το τρένο κινείται ομόρροπα ή αντίρροπα προς τον Β)
Εχουμε:
Μ=Χ*10
Μ=Υ*9
Κ=Υ*(10+1200)
Από όπου προκύπτει:
Κ/(Υ-Χ)=12.100 δευτερόλεπτα. Ο χρόνος αυτός αντιπροσωπεύει το διάστημα που μεσολάβησε από τη στιγμή που το τρένο έφθασε στον Α, μέχρι να συναντηθούν οι Α και Β. Επομένως για να βρεθεί ο ζητούμενος χρόνος θα πρέπει να αφαιρεθούν 10+1200+9 δευτερόλεπτα, και επομένως ο χρόνος είναι 10.881 δευτερόλεπτα, ή 181 λεπτά και 21 δευτερόλεπτα.
1. Οι δεκάδες που δεν ξεκινούν από “2” έχουν 1 αριθμό με τουλάχιστον ένα ψηφίο “2” εντός τους. Οι εκατοντάδες που δεν ξεκινούν από “2” έχουν 10+9= 19 αριθμούς με τουλάχιστον ένα ψηφίο “2” εντός τους. Οι χιλιάδες που δεν ξεκινούν από “2” έχουν 100+90+81= 271 αριθμούς με τουλάχιστον ένα ψηφίο “2” εντός τους.
Αν f(N) είναι η συνάρτηση που δίνει το πλήθος των αριθμών που έχουν τουλάχιστον ένα ψηφίο “2” εντός τους έως τον αριθμό Ν, τότε για τους 5000 αριθμούς που δεν έχουν 2 στα ψηφία τους ισχύει η σχέση f(N)=N-5000. Αξιοποιώντας τις παραπάνω περιπτώσεις για τις μονάδες, εκατοντάδες και χιλιάδες, προκύπτει πως για Ν=7876 έχουμε f(7876)=2876=7876-5000.
Άρα ο τελευταίος αριθμός που πληκτρολόγησε ο μικρός είναι ο 7876.
2. Έφτιαξα μία γεωμετρική λύση. Το link του σχήματος είναι εδώ: https://imgur.com/a/AD0Ujdf
Η κόκκινη γραμμή είναι η ταχύτητα του Α, η πράσινη του Β και η μπλε του Τ (τρένου). Το μήκος του τρένου είναι Μ. Το μαύρο ορθογώνιο είναι το τρένο στις θέσεις του για τις οποίες έχουμε πληροφορία χρόνου.
Στο σχήμα προκύπτουν πολλές σχέσεις από το θεώρημα του Θαλή, αλλά για να προσδιορίσουμε τον χρόνο t4 αρκούν οι εξής:
β/γ = 1210/1219
(β+δ)/(γ+ε+Μ) = 1210/1219
Μ/δ = 10/1210
ε/δ = (t4-1219)/(t4-1210)
Επιλύοντας το σύστημα προκύπτει ότι t4=12100s. Άρα ο ζητούμενος χρόνος είναι t4-t3= 12100-1219 = 10881s.
Ξέχασα να γράψω πως το αποτέλεσμα δεν αλλάζει όταν αλλάζουν οι φορές των Α, Β, Τ.
Ευχαριστώ και συγχαίρω τους φίλους για τις εξαιρετικές αναλύσεις τους! Θα δώσω από μία ακόμα για κάθε πρόβλημα, που ελπίζω να βρείτε ενδιαφέρουσες:
1. Ο αριθμός 5000 γραμμένος σε 9-δική βάση είναι ο 6765. Ας φανταστούμε το μαθητή να γράφει στο 9-δικό σύστημα διαβάζοντας στο πληκτρολόγιο κανονικά το 0 ως 0 και το 1 ως 1, ενώ τα ψηφία από το 3 μέχρι το 9 τα διαβάζει κατά 1 μικρότερα, δηλαδή το 3 σαν 2, το 4 σαν 3, … , και το 9 σαν 8. Με αυτό τον τρόπο, στο φανταστικό του πληκτρολόγιο, ο μαθητής θα έγραφε σε 9-δική βάση και τους 5000 ανεξαιρέτως αρχικούς θετικούς ακέραιους, με τελευταίο τον 6765. Για να βρούμε τώρα ποιον αριθμό έγραψε στο πραγματικό πληκτρολόγιο, αρκεί να κάνουμε το αντίστροφο: να διαβάσουμε δηλαδή κανονικά πάλι τα ψηφία 0 ή 1 αυτού του αριθμού (αν τα έχει) και να αυξήσουμε κατά 1 τα ψηφία από 2 και μετά. Επομένως, ο 5000-ος και τελευταίος αριθμός που πληκτρολόγησε ο μαθητής είναι ο 7876.
2. Μπορούμε να αντιμετωπίσουμε την κατάσταση από τη σκοπιά ενός παρατηρητή που βρίσκεται μέσα στο τρένο. Στην αντίληψη ενός τέτοιου παρατηρητή, ο ίδιος και το τρένο είναι ακίνητοι, ενώ ο Β κινείται γρηγορότερα από τον Α, αφού την ίδια απόσταση (μήκος του τρένου) τη διανύει σε 9 δεύτερα έναντι 10 δεύτερων του Α. Αυτό σημαίνει ότι ο Β σε κάθε 9 δευτερόλεπτα που κινείται κερδίζει έναντι του Α απόσταση όση και η απόσταση που διανύει ο A σε 1 δεύτερο. Για τον ίδιο παρατηρητή όμως, ο Β βρέθηκε στο πίσω μέρος του τρένου σε χρόνο 20*60+9 = 1209 δεύτερα αφ’ ότου είχε βρεθεί στο ίδιο ακριβώς σημείο ο Α. Επομένως, για να κερδίσει αυτό το χρόνο ο Β και να καλύψει την απόσταση μέχρι να φτάσει τον Α, θα χρειαστεί ακόμη 9*1209 = 10881 δεύτερα = 3 ώρες, 1 λ, 21 δ.
Πράγματι, πολύ ωραίες οι εναλλακτικές λύσεις που έδωσες Θανάση!