1. Σε κάθε έδρα ενός εξάεδρου ζαριού, είναι τυπωμένο ένα βέλος που δείχνει σε μια γειτονική έδρα.
Αν ξεκινήσουμε τοποθετώντας το ζάρι σε μια έδρα ως βάση και ακολουθήσουμε τη φορά των βελών, τουμπάροντας το ζάρι κάθε φορά στην αντίστοιχη έδρα, σε 6 τουμπαρίσματα το ζάρι θα καθίσει σε όλες τις έδρες και θα επιστρέψει στην αρχική.
Με πόσες διαφορετικές διατάξεις των βελών μπορεί να γίνει αυτό;
2. Ο σχεδιασμός ενός νέου νομίσματος προβλέπει την έκδοση μεταλλικών κερμάτων αξίας 1,2,3 και 5 μονάδων που τα βάρη τους σε γραμμάρια θα είναι όση και η αξία τους.
Λόγω βλάβης όμως των μηχανημάτων κατά την παραγωγή των κερμάτων, τα κέρματα μιας από τις παραπάνω σειρές είχαν μεν το ίδιο βάρος όλα μεταξύ τους, αλλά διαφορετικό από το προβλεπόμενο.
Αν δεν ξέρετε ποια ακριβώς είναι η ελαττωματική σειρά και διαθέτετε μια ζυγαριά ισορροπίας χωρίς σταθμά και όσα θέλετε κέρματα από κάθε σειρά, πόσες ζυγίσεις θα χρειαστείτε για να την εντοπίσετε;
1.
Αν αριθμήσουμε τις έδρες από το 1 ως το 6 όπως οι ενδείξεις του ζαριού
και ξεκινήσουμε από μια οποιαδήποτε έδρα έχουμε αρχικά 4 επιλογές να επιλέξουμε τη δεύτερη έδρα, έπειτα 3 επιλογές να επιλέξουμε την τρίτη έδρα και τέλος 4 επιλογές για να πάμε στις υπόλοιπες 3 έδρες που απομένουν.
Συνολικά 4*3*4 = 48 περιπτώσεις.
2.
1η ζύγιση : από ένα κέρμα των 2 και 3 στον ζυγό Α και ένα κέρμα των 5 στον ζυγό Β.
2η ζύγιση : από ένα κέρμα των 1 και 2 στον ζυγό Α και ένα κέρμα των 3 στον ζυγό Β.
Αν στην πρώτη ζύγιση ισορροπήσει ο ζυγός (Α1 = Β1), τότε η ελαττωματική σειρά είναι η σειρά του 1 (ελαφρύτερη αν Α2 Β2).
Αν Α1 < Β1 και Α2 = Β2, τότε η ελαττωματική σειρά είναι η σειρά του 5 (βαρύτερη του κανονικού)
Αν Α1 < Β1 και Α2 < Β2, τότε η ελαττωματική σειρά είναι η σειρά του 2 (ελαφρύτερη του κανονικού)
Αν Α1 Β2, τότε η ελαττωματική σειρά είναι η σειρά του 3 (ελαφρύτερη του κανονικού)
Αν Α1 > Β1 και Α2 = Β2, τότε η ελαττωματική σειρά είναι η σειρά του 5 (ελαφρύτερη του κανονικού)
Αν Α1 > Β1 και Α2 Β1 και Α2 > Β2, τότε η ελαττωματική σειρά είναι η σειρά του 2 (βαρύτερη του κανονικού)
1. Ξεκινώντας από την έδρα Α με τον αριθμό 1, υπάρχουν 4 τρόποι μετακίνησης σε μια έδρα Β. Για κάθε έδρα Β υπάρχουν 3 τρόποι μετακίνησης προς μια έδρα Γ. Για κάθε έδρα Γ υπάρχουν 2 τρόποι μετακίνησης προς μια έδρα Δ. Αν η έδρα Δ έχει πάνω τον αριθμό 6 (2 περιπτώσεις) τότε υπάρχουν 2 τρόποι μετακίνησης στην έδρα Ε, αλλιώς (4 περιπτώσεις) υπάρχει 1 τρόπος μετακίνησης στην έδρα Ε. Αυτό συμβαίνει γιατί στην έδρα Ζ δεν μπορεί να υπάρχει ο αριθμός 6, αφού από εκεί δεν μπορούμε να επιστρέψουμε στον αρχικό αριθμό 1. Από την έδρα Ε υπάρχει 1 τρόπος μετακίνησης στην έδρα Ζ και από εκεί 1 τρόπος μετακίνησης στην αρχική έδρα Α. Συνολικά υπάρχουν 4*3*2*(8/6)*1*1 = 32 διαφορετικές διατάξεις βελών.
2. Χρειάζονται 2 ζυγίσεις: Στην 1η βάζω δύο νομίσματα του 1 γρ. στον ένα δίσκο και ένα νόμισμα των 2 γρ. στον άλλο. Αν γέρνει, στη 2η ζύγιση βρίσκω αν το πρόβλημα είναι στην ομάδα των 1 ή των 2 σε αντιπαραβολή με την ομάδα των 3 ή των 5. Αν ισορροπεί η 1η ζύγιση, στη 2η βάζω τρία νομίσματα του 1 γρ. στον ένα δίσκο και ένα νόμισμα των 3 γρ. στον άλλο. Αν ισορροπεί το πρόβλημα είναι στην ομάδα των 5. Αν γέρνει το πρόβλημα είναι στην ομάδα των 3.
Πρόβλημα 1
Υπάρχουν συνολικά 5!=120 διατάξεις βελών με δεδομένο ότι το ζάρι κάθεται σε μια πλευρά. Από αυτές μας κάνουν οι 32 οι οποίες είναι συμμετρικές ανά 8. Αφαιρούμε όλους τους συνδυασμούς που δεν επιτρέπεται κίνηση σε έδρα που είναι ακριβώς απέναντι από αυτή που κάθεται το ζάρι κάθε φορά.
Πρόβλημα 2
Μπορουμε το ζητούμενο με δύο ζυγίσεις. Στη 1η βάζω δυο του 1 και από την άλλη ένα του 2. Αν ισορροπήσουν τότε αυτά είναι οκ και στη 2η τοποθετώ (1,2) // (3) αν ισορροπήσουν τότε πρόβλημα το 5, αν δεν ισορροπήσουν τότε πρόβλημα το 3
Αν η 1η ζύγιση δείξει πρόβλημα πχ τα (1,1) βαρύτερα από το νόμισμα των 2 τότε είτε τα 1 είναι πιο βαριά είτε τα 2 είναι πιο ελαφριά. Παίρνω για δεύτερη ζύγιση (1,1,1)//(3) αν δείξουν ισορροπία τότε πρόβλημα τα 2. Αν δείξουν ανισορροπία τότε πρόβλημα τα 1.
32 και 2 οι απαντήσεις.
Θερμά συγχαρητήρια στους φίλους και ευχαριστώ!