Η Αθανασία μόλις έκλεισε τα 18 , πήρε δίπλωμα οδήγησης και σκέφτεται (με λεφτά που θα της δώσει ο μπαμπάς της) να αγοράσει αυτοκίνητο.
Η πρώτη της σκέψη είναι για μεταχειρισμένο.
Κοιτώντας τις τιμές παρατηρεί ότι ισχύει το εξής περίεργο με την τιμή του μοντέλου που την ενδιαφέρει.Αν πάρεις την τιμή του (τετραψήφιος αριθμός α1α2α3α4) και τον πολλαπλασιάσεις με το 4 θα πάρεις τον ίδιο αριθμό αντιστραμμένο (α4α3α2α1).
Πόσο κοστίζει το αυτοκίνητο;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr
Η αξία του αυτοκινήτου ήταν 2.178€. Έστω ο τετραψήφιος αριθμός, ο οποίος
παριστάνεται 1.000α+100β+10γ+δ, εφόσον πολλαπλασιάζεται επί 4, δίνει γινόμενο έναν
τετραψήφιο αριθμό, που προφανώς θα είναι μεγαλύτερος του 4.000,
1.000α+100β+10γ+δ > 4.000. Το «α» πρέπει να ισούται με 1 ή 2, το δε «δ*4» δίνη πάντα έναν άρτιο αριθμό και συνεπώς το ψηφίο α = 2 και το δ = 8. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε τη σχέση:
4*(1.000α+100β+10γ+δ) = 1.000δ+100γ+10β+α
4*(1.000*2+100β+10γ+8) = 1.000*8+100γ+10β+2
4*(2.000+100β+10γ+8) = 8.000+100γ+10β+2
8.000+400β+40γ+32 = 8.000+100γ+10β+2
8.000+400β+32-8.000-10β-2 = 100γ-40γ
390β-30 = 60γ —> 60γ = 30(13β+1) —>13β+1 =60γ/30 —> 13β+1 = 2γ (1)
Επειδή το γινόμενο 2γ είναι μικρότερο του 20, 2γ < 20, έπεται ότι και η παράσταση
13β+1 είναι μικρότερο του 20, 13β+1 13*1+1 = 2γ —> 2γ = 14 —> γ =14/2 —> γ = 7
Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 2.178.
Επαλήθευση:
4*2.178 = 8.712 ο.ε.δ.
Η αξία του αυτοκινήτου ήταν 2.178€. Έστω ο τετραψήφιος αριθμός,αβγδ ο οποίος
παριστάνεται 1.000α+100β+10γ+δ, εφόσον πολλαπλασιάζεται επί 4, δίνει γινόμενο έναν
τετραψήφιο αριθμό, που προφανώς θα είναι μεγαλύτερος του 4.000,
1.000α+100β+10γ+δ > 4.000. Το «α» πρέπει να ισούται με 1 ή 2, το δε «δ*4» δίνη πάντα έναν άρτιο αριθμό και συνεπώς το ψηφίο α = 2 και το δ = 8. Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως έχουμε τη σχέση:
4*(1.000α+100β+10γ+δ) = 1.000δ+100γ+10β+α
4*(1.000*2+100β+10γ+8) = 1.000*8+100γ+10β+2
4*(2.000+100β+10γ+8) = 8.000+100γ+10β+2
8.000+400β+40γ+32 = 8.000+100γ+10β+2
8.000+400β+32-8.000-10β-2 = 100γ-40γ
390β-30 = 60γ —> 60γ = 30(13β+1) —>13β+1 =60γ/30 —> 13β+1 = 2γ
Επειδή το γινόμενο 2γ είναι μικρότερο του 20, 2γ < 20, έπεται ότι και η παράσταση
13β+1 είναι μικρότερο του 20, 13β+1 13*1+1 = 2γ —> 2γ = 14 —> γ =14/2 —> γ = 7
Άρα ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 2.178.
Επαλήθευση:
4*2.178 = 8.712 ο.ε.δ.
Πρέπει α1=1ή2, γιατί αλλιώς το γινόμενο του α1α2α3α4 με το 4 θα είναι πενταψήφιος. Επίσης είναι 4(1000α1+100α2+10α3+α4)=1000α4+100α3+10α2+α1 ή 1333α1+130α2=20α3+332α4 (1). Αναγκαία α1 άρτιος άρα α1=2. Η (1) γίνεται 1333+65α2=10α3+166α4, άρα α2 περιττός. Τότε το τελευταίο ψηφίο του 1ου μέλους είναι 8 και επειδή το 10α3 τελειώνει σε 0 πρέπει α4=3 ή 8. Αν α4=3 οδηγούμαστε στην αδύνατη 10α3-65α2=835. Για α4=8 φθάνουμε στην 10α3-65α2=5 που έχει μόνη λύση την α3=7, α2=1. Άρα το κόστος είναι 2178€.
4(1.000α+100β+10γ+δ)=1.000δ+100γ+10β+α(Ε) στους μονοψήφιους.
4.000α+400β+40γ+4δ=1.000δ+100γ+10β+α(Ε)
3.999α+390β-60γ-996δ=0(Ε)
1.333α+130β-20γ-332δ=0(Ε)
οπότε α=2, β=1, γ=7, δ=8.