Έχουμε ίσες σφαίρες στοιβαγμένες σε σχήμα τετραγωνικής πυραμίδας (σκεφτείτε μπάλες κανονιού).
Η πυραμίδα μας είναι πλήρης, δε χωράει άλλη μπάλα.
Επειδή μας προκύπτει μια μπάλα ακόμα πρέπει να κάνουμε μια αναδιάταξη… Φτιάχνουμε λοιπόν μια καινούρια πυραμίδα με τριγωνική αυτή τη φορά βάση, και πλέον οι μπάλες μας στοιβάζονται όλες.
Πάλι η στοίβα είναι πλήρης, δε χωράει άλλη μπάλα.
Πόσες μπάλες έχουμε;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr
Για την τετραγωνική πυραμίδα έχουμε:
12 + 22 + … + ν2 = ν*(ν+1)*(2ν+1)/6
Για την τριγωνική πυραμίδα έχουμε:
1 + (1+2) + (1+2+3) + …. + (ν(ν+1)/2) = ν(ν+1)(ν+2)/6
Με λίγες δοκιμές βλέπουμε ότι έχουμε το ζητούμενο:
55 σφαίρες στην τετραγωνική πυραμίδα (ν=5).
56 σφαίρες στην τριγωνική πυραμίδα(ν=6).
Αν συνεχίσουμε τις δοκιμές μπορούμε να βρούμε και άλλες λύσεις πχ 285 – 286