1. Εφτά συλλέκτες μανιταριών μάζεψαν διαφορετικούς αριθμούς μανιταριών ο καθένας και τουλάχιστον 100 μανιτάρια όλοι μαζί.
Πόσα τουλάχιστον μανιτάρια μάζεψαν οι τρεις πρώτοι μαζί;
2. Οχτώ ποδοσφαιρικές ομάδες συμμετέχουν σε ένα τουρνουά και συναγωνίζονται για την πρόκριση στους τέσσερις.
Κάθε ζευγάρι ομάδων παίζουν από ένα μόνο παιχνίδι και η νίκη σε κάθε παιχνίδι δίνει 2 βαθμούς, η ισοπαλία 1 βαθμό και η ήττα 0.
Σε περίπτωση ισοβαθμιών δύο ή περισσότερων ομάδων στην 4η θέση της τελικής βαθμολογίας, η πρόκριση αποφασίζεται με κλήρωση.
Ποια είναι η ελάχιστη βαθμολογική συγκομιδή που εξασφαλίζει την πρόκριση μιας ομάδας στους τέσσερις;
Οι 3 πρώτοι σε τι;
Στο πλήθος μανιταριών που μάζεψαν.
1. Τα λιγότερα μανιτάρια που μπορεί να μάζεψαν οι 4 τελευταίοι μαζί είναι 1+2+3+4=10. Άρα για να συμπληρωθεί η 100άδα χρειάζονται τουλάχιστον 90 ακόμα. Αυτός είναι και ο μικρότερος αριθμός μανιταριών που μπορεί να μάζεψαν οι 3 πρώτοι.
Διόρθωση στην 1η.
Για να βρούμε τον ελάχιστο αριθμό μανιταριών που μπορεί να έχουν οι 3 πρώτοι, θα μοιράσουμε τα 100 μανιτάρια σε 7 μέρη, ώστε να έχουν την πιο μικρή απόσταση το ένα από το άλλο και οι 4 τελευταίοι να έχουν τον μέγιστο αριθμό που μπορούν. Αυτό γίνεται με τους αριθμούς 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18 ή …, 15, 16, 19. Άρα ο ελάχιστος αριθμός μανιταριών που μπορεί να έχουν οι 3 πρώτοι είναι 50.
1.
Έστω ότι :
α1 < α2 < α3 < α4 < α5 < α6 < α7,
S1 = α1 + α2 + α3 + α4
S2 = α5 + α6 + α7
* Αν α4 <= 14, τότε α3 <= 13, α2 <= 12, α1 <=11 και S1 = 50
* Αν α4 >=15, τότε α5 >= 16, α6 >= 17 και α7 >= 18, άρα S2 >= 51
Επομένως ο ελάχιστος αριθμός των τριών πρώτων είναι 50
και μπορεί να συμβεί με δύο τρόπους (15 , 16 , 19) ή (15 , 17 , 18)
όταν οι υπόλοιποι τέσσερις έχουν μαζέψει 11 , 12 , 13 και 14.
2.
Έγιναν συνολικά 28 παιχνίδια.
Μοιράστηκαν συνολικά 56 βαθμοί.
Οι τρεις τελευταίοι της βαθμολογίας έχουν αθροιστικά τουλάχιστον 6 βαθμούς (τους βαθμούς στα μεταξύ τους παιχνίδια),
άρα οι πέντε πρώτοι έχουν αθροιστικά το πολύ 50 βαθμούς.
Η περίπτωση που οι 5 πρώτοι ισοβαθμούν στην κορυφή με 5 νίκες ο καθένας αποδεικνύει ότι με 10 βαθμούς δεν εξασφαλίζεται η πρόκριση στην τετράδα.
Με 11 βαθμούς εξασφαλίζεις σίγουρα την πρόκριση στην τετράδα.
πρόβλημα 2 => Έστω οι ομάδες Χ1,Χ2,Χ3,Χ4,Χ5,Χ6,Χ7,Χ8
Μπορούμε να πετύχουμε βαθμολογία όπου οι πέντε πρώτες ομάδες να έχουν συγκεντρώσει από 10 βαθμούς ως εξής: Να έχουν κερδίσει τις τρεις τελευταίες τις βαθμολογίας και στα μεταξύ τους παιχνίδια να έχουν φέρει ισοπαλίες (3*2+4*1=10).
Οι 11 βαθμοί μας φτάνουν; Έστω ότι υπάρχει βαθμολογία όπου 5 ομάδες έχουν συγκεντρώσει τουλάχιστον 11 βαθμούς. Αυτό σημαίνει ότι οι ομάδες αυτές έχουν μαζέψει τουλάχιστον 5*11=55 βαθμούς. Από την άλλη υπάρχουν και οι τρεις τελευταίες ομάδες οι οποίες από τα μεταξύ τους παιχνίδια (3 συνολικά) θα μοιραστούν 6 βαθμούς. Αυτό σημαίνει ότι θα έχουν δοθεί τουλάχιστον 55+6=61 βαθμοί. Εμείς όμως γνωρίζουμε ότι συνολικά θα γίνουν 8!/(6!*2)=28 παιχνίδια και θα μοιραστούν 28*2=56 βαθμοί. Συνεπώς άτοπο.
1. Εστω Α1> Α2>Α3…>Α7, ο αριθμός των μανιταριών που μάζεψε ο καθένας. Εχουμε ότι:
Α1=Α1
Α1>=Α2+1
Α1>=Α3+2
Α1>=Α4+3
Α1>=Α5+4
Α1>=Α6+5
Α1>=Α7+6
7*Α1>=Α1+Α2+Α3+Α4+Α15+Α6+Α7+21>=121, επομένως Α1>=18
Επομένως η ελάχιστες τιμές των Α1, Α2, Α3 είναι 18, 17, 16, και άρα Α1+Α2+Α3>=51
2. Συνολικά γίνονται 8*7/2=28 αγώνες και συγκεντρώνονται 56 βαθμοί. Οι τρείς τελευταίοι συγκεντρώνουν τουλάχιστον 6 βαθμούς (από τα τρία μεταξύ τους παιχνίδια), οπότε οι πέντε πρώτοι μοιράζονται έως και 50 βαθμούς. Είναι προφανές ότι οι 10 βαθμοί δεν εξασφαλίζουν σίγουρη πρόκριση, γιατί μπορεί να προκύψει πενταπλή ισοβαθμία στη πρώτη θέση με 10 βαθμούς (πχ αν και οι 5 πρώτοι φέρουν ισοπαλίες μεταξύ τους και ο καθένας κερδίσει και τους 3 τελευταίους). Αρα μόνον οι 11 βαθμοί εξασφαλίζουν μαθηματικά τη πρόκριση.
1. Οι τρεις πρώτοι μαζεύουν κατ’ ελάχιστο 50 μανιτάρια, αν οι 5 τελευταίοι μαζέψουν από 11 έως 15 και οι δύο πρώτοι 35 μανιτάρια.
2. Η μέγιστη συγκομιδή βαθμών που μπορούν να συγκεντρώσουν οι 4 πρώτοι είναι 44 βαθμοί. ο 5ος δεν μπορεί να έχει 11 βαθμούς γιατί 5*11=55, ενώ το σύνολο όλων των βαθμών είναι 56 και δεν μπορεί να συγκεντρωθεί μόνο 1 βαθμός από τους αγώνες των 6-8. Οπότε ο 5ος μπορεί να έχει το πολύ 10 βαθμούς και άρα με 11 βαθμούς μια ομάδα εξασφαλίζει τουλάχιστον την 4η θέση.
Μπορούμε να πετύχουμε οι τρεις πρώτοι να μαζέψουν 50 μανιτάρια, 15+17+18 κ οι υπόλοιποι 11, 12, 13, 14. Συνολικά 100 μανιτάρια. Αν επιχειρήσουμε για 49 οι τρεις πρώτοι θελουμε οι υπόλοιποι 51 εχουμε 10 11 12 13 = 49 κ 11 12 13 14 =51
Διορθώνω γιατί προφανώς 10 +11 +12 +13=46 κ 11+12+13+14=50.
Παρατηρούμε ότι αν ο μικρότερος της τριαδας είναι ο 14 το μέγιστο άθροισμα της τετράδας είναι το 46. Αν είναι το 15, το μέγιστο της τετράδας είναι το 50, κ αν είναι το 16 το ελαχιστο της τριάδας ειναι το 51. Άρα πρέπει να πάμε αναγκαστικά στο 50-50 !
Γρίφος 1
Εδω τα οι αριθμοι των μανιταριών που βρήκα είναι 11 12 13 14 15 17 18
Το αθροισμα ειναι το μικρότερο δυνατό δηλαδή 11+12 +13 +14 +15 + 17 +18=100
Το σκεπτικό μου ηταν να διαρέσω καταρχήν το 100 με το 7 που ισουται περίπου με 14, 3
Αρα ν κατασκευάσω 7 ακέραιους που θα βρίσκονται λίγο πάνω και λίγο κάτω από το 14 και όλοι μεταξύ τους οσο πιο κοντά γίνεται για να ειναι όσο το δυνατόν μικρότερο το άθροισμα των 3 πρώτων (15+17+18=50)
Γενικά θέλουμς οι μικρότεροι 7 να είναι οσο το δυνατόν κοντύτερα στους 3 πρώτους γιατι αν ήταν πιο κάτω αναγκαστικά οι 3 πρώτοι θα έβγαζαν υψηλότερο άθροισμα για να συμπληρωσουν το 100
Δεν γίνεται να υπαρξει μικρότερο άθροισμα από το 50 αφου αν βρισκαμε Σ50 , κάτι που θα σήμαινε ότι τουλαχιστονο μεγαλύτερος των υπόλοιπων 7 θα επρεπε να αυξηθεί κατα 1 αρα να γίνει ίσος με 15 που αυτόματα θα τον ενέτασε στην 3-άδα με τους μεγαλυτερους κλπ
Γρίφος 2
Εδω θα δουμε ποιοι ειναι οι μεγιστοι βαθμοί ν με τους οποίους μπορεί να αποκλειστεί μια ομάδα και αν τους βρώ τότε οι ελάχιστοι βαθμοί πρόκρισης θα είναι ν+1
Η ακραία περίπτωση ειναι οι 5 πρώτες ομάδες να έχουν τον ίδιο αριθμό βαθμών και να αποκλειστεί μία απο αυτές με κλήρωση
Αυτο γίνεται με το να έχει 10 βαθμούς η καθεμία
Ουσιαστικά νικάνε όλες τις 3 τελευταίες και παίρνουν 6 βαθμούς και φέρνουν στα μεταξύ τους ματς ισοπαλίες (4 για τον καθένα)
Αρα σύνολο βαθμών 2+2+2+1+1+1+1=10
αν εξετάσουμε αν γίνεται με παραπάνω ειναι αδύνατον αφου πχ αν δεχτουμε οτι ο καθένας κάνει και μια νίκη έναντι κάποιου άλλου(γιατι θέλουμε ισοβαθμία για το δυσμενέστερο συμβαν) απο τους 5 τότε αναγκαστικά έχει και μία ήττα
Οποτε τα αποτελέσματα ειναι 2+1+1+0 αρα ξανά η συγκομιδή είναι 4 βαθμοί
Οπότε οτι και να κάνουμε θα ξαναγυρνάμε στους 10
Αρα οι ελάχιστοι βαθμοί με τους οποίους σιγουρεύεται η πρόκριση για κάποιον ειναι 11
Σας εύχομαι ολόψυχα Χρόνια πολλά με υγεία, δύναμη και αισιοδοξία!