1. Η νέα κυβέρνηση αποφάσισε να αναθέσει την εποπτεία του τραπεζικού συστήματος σε ένα πολυμελές συμβούλιο, 3 από τα μέλη του οποίου θα συγκροτήσουν μια εκτελεστική επιτροπή.
Μεταξύ των πολλών υποψηφίων για τις θέσεις στο συμβούλιο και την επιτροπή είναι ο Άρης και η Βάσω.
Η πιθανότητα να επιλεγούν και οι δύο για το συμβούλιο είναι 40 φορές μεγαλύτερη από την πιθανότητα να επιλεγούν και οι δύο για την επιτροπή.
Αν όλοι οι υποψήφιοι έχουν ίσες πιθανότητες, πόσα μέλη έχει το συμβούλιο;
2. Τα 15 μέλη ενός συμβουλίου συνεδριάζουν καθισμένα γύρω από ένα στρογγυλό τραπέζι.
Λόγω βλάβης του φωτοτυπικού, η γραμματέας του συμβουλίου κατάφερε να εκτυπώσει μόνο 6 αντίγραφα της ατζέντας των θεμάτων συζήτησης και έτσι τα διαθέσιμα αντίγραφα μοιράζονται από ένα σε ισάριθμα μέλη του συμβουλίου, ενώ όλα τα υπόλοιπα μέλη διαβάζουν τα θέματα από διπλανούς τους που έχουν αντίγραφα.
Με πόσους τρόπους μπορούν να μοιραστούν τα αντίγραφα στα μέλη;
(τα μέλη είναι διακριτά, τα αντίγραφα όχι)
1. Χάριν απλότητας υποθέτω πως ο αριθμός των υποψηφίων είναι ίσος με τον αριθμό Μ των μελών του συμβουλίου, έτσι ώστε η πιθανότητα να επιλεγούν και οι δύο σαν μέλη του συμβουλίου να είναι p1=1.
Η πιθανότητα να επιλεγούν και οι δύο στο συμβούλιο είναι p2 = (M-2)/C(Μ,3) και πρέπει p2=1/40 οπότε προκύπτει ότι Μ(Μ-1)=240 => Μ=16. Άρα το συμβούλιο έχει 16 μέλη.
2. Ξεκινώντας από κάποιον που έχει αντίγραφο, μετράμε την απόστασή του από τον επόμενο που έχει αντίγραφο. Συνεχίζουμε με αυτόν τον τρόπο μέχρι να ξαναφτάσουμε στον αρχικό. Έτσι σχηματίζεται ένας κωδικός αποστάσεων. Π.χ. αν αντίγραφα έχουν οι 1,2,4,7,10,13 τότε ο κωδικός που αντιστοιχεί σε αυτήν την κατανομή αποστάσεων ξεκινώντας να μετράμε από τον 1 είναι ο 123333. Από την εκφώνηση προκύπτει ότι οι επιτρεπτοί κωδικοί έχουν για ψηφία τους μόνο τα 1,2,3, είναι 6-ψήφιοι και το άθροισμα των ψηφίων τους είναι το 15.
Χωρίζουμε τώρα αυτούς τους κωδικούς σε δύο βασικές κατηγορίες: Η κατηγορία Α έχει ένα 1, ένα 2 και τέσσερα 3 και η κατηγορία Β έχει τρία 2 και τρία 3.
Υπάρχουν 5 διαφορετικοί κωδικοί στην κατηγορία Α ξεκινώντας από το 1 και αυτοί είναι οι 123333, 132333, 133233, 133323, 133332. Καθένας από αυτούς πρέπει να υπολογιστεί 15 φορές γιατί τα αντίγραφα μπορεί να μοιραστούν μετακινούμενα μία θέση κάθε φορά κυκλικά με 15 διαφορετικούς τρόπους. Άρα η κατηγορία Α περιλαμβάνει 5*15 = 75 τρόπους μοιράσματος.
Υπάρχουν 4 διαφορετικοί κωδικοί στην κατηγορία Β και αυτοί είναι οι 222333, 223233, 223323, 232323. Οι 3 πρώτοι κωδικοί πρέπει να υπολογιστούν 15 φορές ο καθένας για τον ίδιο λόγο με αυτόν της κατηγορίας Α. Ο τέταρτος κωδικός πρέπει να υπολογιστεί μόνο 5 φορές γιατί κάθε 5 μετακινήσεις των αντιγράφων επαναλαμβάνεται. Άρα η κατηγορία Β περιλαμβάνει 3*15 + 1*5 = 50 τρόπους μοιράσματος.
Συνολικά από τις κατηγορίες Α και Β προκύπτουν 75+50 = 125 τρόποι μοιράσματος.
Πρόβλημα 1
Έστω Υ ο αριθμός των υποψηφίων για το συμβούλιο και Χ ο αριθμός των μελών του συμβουλίου.
Η πιθανότητα εκλογής στο συμβούλιο και για τους δύο δίνεται από τον τύπο [Χ*(Χ-1)]/[Υ(Υ-1)] (Π1)
Η πιθανότητα εκλογής στην τριμελή επιτροπή και για τους δύο αφού έχουν εκλεγεί δίνεται από τον τύπο 6/[Χ*(Χ-1)] (Π2). Συνεπώς σύμφωνα με την εκφώνηση Π1=40*Π1*Π2=>Χ*(Χ-1)=240=>Χ=16 και Χ=-15 που απορρίπτεται.
Πρόβλημα 2
Υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις
Α=> Οι 1 και 8 να πάρουν αντίγραφο =>συνδυασμοί 18
Β=> Οι 1 και ο 8 δεν παίρνουν αντίγραφο => συνδυασμοί 43
Γ=> Ο 1 παίρνει και ο 8 δεν παίρνει =>32
Δ=> Ο 1 δεν παίρνει και ο 8 παίρνει => 32
Αθροίζουμε 18+43+32+32=125
Ευχαριστώ (καταρχάς) τους φίλους για τις λύσεις που είχαν την καλοσύνη να δώσουν. Πριν από άλλα σχόλια, θα παρακαλούσα για μερικές διευκρινίσεις:
Πάνο, πώς μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι αν ο αριθμός των υποψηφίων είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό μελών του συμβουλίου, το αποτέλεσμα δεν αλλάζει;
Κωστή, ωραίες οι αναλύσεις σου, αλλά μού μοιάζουν κάπως ταχυδακτυλουργικές. Μπορείς να μας κάνεις λίγο περισσότερο μετόχους της μαγείας που κρύβεις πίσω από την ταχυδακτυλουργία; ?
Με χαρά και ζητώ συγγνώμη από τους φίλους αν τους δυσκόλεψα στην κατανόηση !!
Η πιθανότητα εκλογής στην τριμελή επιτροπή και για τους δύο αφού έχουν εκλεγεί δίνεται από τον τύπο 6/[Χ*(Χ-1)]. Ο τύπος προκύπτει ως εξής: Έστω Χ ο αριθμός μελών του συμβουλίου. Οι τριμελείς ομάδες που εμπεριέχουν τους Α και Β είναι (Χ-2). Οι συνολικές τριάδες είναι Χ!/[3!*(Χ-3)!]. Επομένως η πιθανότητα είναι (Χ-2)/ [Χ!/[3!*(Χ-3)!]]=[(Χ-2)*3!*(Χ-3)!/]/Χ!=
[(Χ-2)*6]/[Χ*(Χ-1)*(Χ-2)]=6/[Χ*(Χ-1)]
Η πιθανότητα εκλογής στο συμβούλιο και για τους δύο δίνεται από τον τύπο [Χ*(Χ-1)]/[Υ(Υ-1)]. Ο τύπος προκύπτει ως εξής: Έστω Υ ο αριθμός υποψηφίων και Χ ο αριθμός μελών του συμβουλίου.
Οι συνδυασμοί που δίνουν συμβούλιο στο οποίο συμμετέχουν οι Α και οι Β είναι
(Υ-2)!/[(Χ-2)!*(Υ-2-Χ+2)!]=(Υ-2)!/[(Χ-2)!*(Υ-Χ)!]
Οι συνολικοί συνδυασμοί που δίνουν συμβούλιο είναι Υ!/[Χ!*(Υ-Χ)!]
Συνεπώς η τελική πιθανότητα είναι ίση με [(Υ-2)!/[(Χ-2)!*(Υ-Χ)!]]/[Υ!/[Χ!*(Υ-Χ)!]=
[(Υ-2)!*Χ!]/[Χ-2)!*Υ!]=[Χ*(Χ-1)]/[Υ*(Υ-1)]
Αναφορικά με το δεύτερο πρόβλημα, απλώς μέτρησα και δυστυχώς δεν κρύβεται κάποια ιδιαίτερη ταχυδακτυλουργία…. 😉
Εξαιρετικά Κωστή, εύγε!
Ένας απλούστερος τρόπος αφήγησης της λύσης σου στον πρώτο γρίφο θα μπορούσε να είναι ο εξής:
Αν ο αριθμός των υποψηφίων είναι ψ, υπάρχουν ψ(ψ-1)/2 ζευγάρια υποψηφίων και αν ο αριθμός μελών του συμβουλίου είναι χ, υπάρχουν χ(χ-1)/2 ζευγάρια μελών του συμβουλίου. Επομένως, η πιθανότητα για οποιοδήποτε ζευγάρι υποψηφίων, να είναι και ζευγάρι μελών του συμβουλίου είναι:
π1 = [χ(χ-1)/2]/[ψ(ψ-1)/2] = [χ(χ-1)]/[ψ(ψ-1)]
Ομοίως, υπό τη συνθήκη ότι κάποιο ζευγάρι υποψηφίων είναι και ζευγάρι μελών του συμβουλίου, η πιθανότητα το ίδιο ζευγάρι να είναι και ζευγάρι της 3-μελούς επιτροπής είναι:
π2 = [3(3-1)/χ(χ-1)] = 6/[χ(χ-1]
Έτσι, έχουμε τελικά:
π1=40*(π1*π2) => 40*π2=1 => χ(χ-1)=240 => χ=16
Πολύ όμορφες και οι λύσεις του Πάνου, μπράβο! και πολύ γόνιμη η σκέψη του να αποδώσει πιθανότητα 1 στο ενδεχόμενο να είναι και ο Άρης και η Βάσω μέλη του συμβουλίου.
Όσο αφορά το γρίφο των φωτοαντιγράφων, προτείνω και την παρακάτω λύση:
Ας υποθέσουμε ότι το μέλος που κάθεται στη θέση 1 παίρνει αντίγραφο, οπότε μένει να δούμε με πόσους τρόπους μπορούν να μοιραστούν τα υπόλοιπα 5 αντίγραφα. Κινούμενοι ωρολογιακά με αφετηρία τη θέση 1 και μέχρι να ξαναφτάσουμε σε αυτή, δεν θα πρέπει να συναντήσουμε καμιά συνεχόμενη ομάδα 3 ή περισσότερων θέσεων χωρίς αντίγραφο, αφού σε τέτοια περίπτωση θα υπήρχε μέλος που ούτε ο ίδιος ούτε οι διπλανοί του θα είχαν αντίγραφα. Επομένως, το πλήθος των μελών χωρίς αντίγραφα μεταξύ δύο διαδοχικών θέσεων μελών που έχουν αντίγραφα είναι από 0 έως 2 το πολύ. Θα υπάρχουν πάντα 6 ακριβώς τέτοιες ενδιάμεσες ‘ομάδες – κενά’ των 0 έως 2 θέσεων χωρίς αντίγραφα, ενώ το συνολικό πλήθος των θέσεων χωρίς αντίγραφα είναι 15-6=9. Αυτό μπορεί να συμβεί είτε με μια οποιαδήποτε διάταξη 3 κενών μεγέθους 1 και 3 κενών μεγέθους 2 (3*1+3*2=9), είτε με μια οποιαδήποτε διάταξη 1 κενού μεγέθους 0, 1 κενού μεγέθους 1 και 4 κενών μεγέθους 2 (1*0+1*1+4*2=9). Συνολικά υπάρχουν 6!/(3!*3!)+6!/(1!*1!*4!) = 20+30 = 50 διατάξεις αυτών των μορφών, αφού τα κενά ίδιου μεγέθους σε κάθε περίπτωση δεν είναι διακριτά μεταξύ τους. Από το σύνολο των δυνατών περιπτώσεων η κάθε θέση, άρα και η θέση 1, παίρνει αντίγραφο στα 6/15 αυτών. Επομένως, οι συνολικοί τρόποι μοιρασιάς των αντιγράφων είναι 50/(6/15)=125.