1. Ένα κέρμα ακτίνας 1/3 cm κυλιέται γύρω από ένα ακίνητο κέρμα ακτίνας 1 cm μέχρι να επανέλθει στην αρχική του θέση.
Πόσες περιστροφές θα κάνει;
2. Η Άννα και ο Βασίλης ρίχνουν επανειλημμένα ένα αμερόληπτο κέρμα.
Κερδίζει η Άννα αν εμφανιστεί πρώτη η ακολουθία ΚΚΓ ή ο Βασίλης αν εμφανιστεί πρώτη η ακολουθία ΓΚΓ.
Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει ο Βασίλης;
2. Ο δ.χ. αποτελείται από τα ενδεχόμενα: ΚΚΓ,ΚΚΚ,ΚΓ,ΓΚΓ,ΓΚΚ,ΓΓ. Ο Βασίλης κερδίζει στο ΓΚΓ, άρα η πιθανότητά του να κερδίσει είναι ίση με 1/6.
1. Μήκος μεγάλου κύκλου/μήκος μικρού=2π/(2π/3)=3. Άρα θα κάνει 3 περιστροφές.
1. Το κέρμα θα εκτελέσει συνολικά 4 περιστροφές. Τρείς κατά μήκος της τριπλάσιας περιμέτρου και μία από ιδιοστροφή. Γενικά μιλώντας, ένα κέρμα διαμέτρου d, κυλιόμενο γύρω από ένα ακίνητο κέρμα διαμέτρου D, εκτελεί (D/d)+1 περιστροφές.
2. Ας πάρουμε τα 8 δυνατά ενδεχόμενα, μετά από τις πρώτες τρείς ρίψεις (το καθένα με πιθανότητα εμφάνισης 1/8)
(a) ΚΚΚ. Κερδίζει πάντα η Αννα (οποτεδήποτε εμφανιστεί Γ)
(b) ΚΚΓ. Κερδίζει πάντα η Αννα (εξ’ορισμού)
(c) ΓΚΓ. Κερδίζει πάντα ο Βασίλης (εξ’ορισμού)
(d) ΓΚΚ. Κερδίζει πάντα η Αννα (οποτεδήποτε εμφανιστεί Γ)
(e) ΚΓΚ. 50% κερδίζει η Αννα (αν έρθει μετά Κ οπότε μετατρέπεται σε ΓΚΚ, βλ. περ. d), και 50% κερδίζει ο Βασίλης, (αν έρθει μετά Γ οπότε μετατρέπεται σε ΓΚΓ, βλ. περ. c)
(f) ΓΓΚ. 50% κερδίζει η Αννα (αν έρθει μετά Κ οπότε μετατρέπεται σε ΓΚΚ, βλ. περ. d), και 50% κερδίζει ο Βασίλης, (αν έρθει μετά Γ οπότε μετατρέπεται σε ΓΚΓ, βλ. περ. c)
(g) ΓΓΓ. Εστω Χ η πιθανότητα νίκης της Αννας. Τότε ανάλογα με το αποτέλεσμα της επόμενης ρίψης, αν έρθει κορώνα, κερδίζει η Αννα με πιθανότητα 50% (καθώς μετατρέπεται σε ΓΓΚ, βλ. περ. f), ενώ αν έρθει γράμματα, κερδίζει η Αννα με πιθανότητα Χ (καθώς παραμένει σε κατάσταση ΓΓΓ). Επομένως Χ=1/2*50%+1/2*Χ, άρα Χ=1/2
(h) ΚΓΓ. 50% κερδίζει η Αννα με πιθανότητα Χ=1/2 (αν έρθει μετά Γ οπότε μετατρέπεται σε ΓΓΓ, βλ. περ. h), ενώ αν έρθει μετά Κ, 50% κερδίζει η Αννα και 50% κερδίζει ο Βασίλης, (καθώς μετατρέπεται σε ΓΓΚ, βλ. περ. f)
Επομένως η Αννα κερδίζει με πιθανότητα:
1/8*(1+1+0+1+0,5+0,5+0,5+(0,5*1/2+0,5*1/2))=5/8.
Επομένως ο Βασίλης κερδίζει με πιθανότητα 3/8
Πρόβλημα 1
Θα κάνει συνολικά 4 περιστροφές.Tο μεγάλο κέρμα έχει μήκος περιφέρειας 2π κ το μικρό 2π/3. Για την απόσταση π/2 επί του μεγάλου κέρματος το μικρό έχει κάνει μια περιστροφή. Ακολούθως θα κάνει άλλες 3 ακόμη.
Πρόβλημα 2
Ορίζω τα 8 ενδεχόμενα ως εξής:
Χ1=ΚΚΚ
Χ2=ΚΚΓ
Χ3=ΚΓΚ
Χ4=ΓΚΚ
Χ5=ΓΓΓ
Χ6=ΓΓΚ
Χ7=ΓΚΓ
Χ8=ΚΓΓ
Επιχειρώ να βρω την πιθανότητα για να έρθει ΚΚΓ εφόσον έχει έρθει το καθένα από τα 8 ενδεχόμενα
Ισχύει
Π(Χ1)=1/2(Χ1)+1/2 =>Π(Χ1)=1
Π(Χ2)= 1/2Π(Χ3)+1/2(ΠΧ8)
Π(Χ3)=1/2Π(Χ4)
Π(Χ4)=1/2*Π(Χ1)+1/2*1=1
Π(Χ5)=1/2Π(Χ5)*1/2Π(Χ6)=>Π(Χ5)=Π(Χ6)
Π(Χ6)=1/2Π(Χ4)
Π(Χ7)=1/2Π(Χ3)+1/2Π(Χ8)
Π(Χ8)=1/2Π(Χ5)+1/2Π(Χ6)
Από τα παραπάνω συνάγουμε
Π(Χ2)=Π(Χ3)=Π(Χ5)=Π(Χ6)=Π(Χ7)=Π(Χ8)=1/2
Π(Χ1)=Π(Χ4)=1
Επομένως, έχουμε για να βρούμε τις πιθανότητες να έρθει πρώτο το ΚΚΓ πολλαπλασιάζουμε την πιθανότητα να έρθει το κάθε ενδεχόμενο (1/8) επί την πιθανότητα να πετύχουμε το ζητούμενο εφόσον έρθει αυτό το ενδεχόμενο
1/8*1+1/8*1/2+1/8*1/2+1/8*1+1/8*1/2+1/8*1/2+1/8*1/2+1/8*1/2=5/8
Άρα για το ΓΚΓ οι πιθανότητες είναι 3/8
Διόρθωση στο 1.
Θα κάνει 4 περιστροφές. 3 λόγω του λόγου των μηκών των κύκλων και μία λόγω της κυκλικής κίνησής του.
1. Αν ν είναι ο αριθμός των περιστροφών που θα έβλεπε ένας παρατηρητής που στέκεται στο κέντρο του μεγάλου νομίσματος να κάνει το μικρό νόμισμα, τότε το ν δίνεται από την εξίσωση:
ν*2π*(1/3) = 2π*1 ==> ν=3
Επειδή εμείς βλέπουμε τις περιστροφές πάνω από τα δύο νομίσματα, θα πρέπει να υπολογίσουμε άλλη μία περιστροφή, η οποία οφείλεται στην καμπυλότητα της γραμμής πάνω στην οποία κυλάει το μικρό νόμισμα. Άρα θα δούμε το μικρό νόμισμα θα κάνει 4 περιστροφές γύρω από το μεγάλο.
2. Ας υποθέσουμε πως ρίχνουμε το νόμισμα πολλές συνεχόμενες φορές καταγράφοντας κάθε φορά το τελευταίο αποτέλεσμα. Παρατηρούμε κατ’ αρχήν ότι αν δύο συνεχόμενα αποτελέσματα έρθουν ΚΚ, τότε είναι σίγουρο πως θα εμφανιστεί στη συνέχεια η ακολουθία ΚΚΓ πριν την ακολουθία ΓΚΓ.
Παρακάτω, το Ρ(ΓΚΓ/Γ) συμβολίζει π.χ. την πιθανότητα να έρθει πρώτος ο συνδυασμός ΓΚΓ, με δεδομένο ότι το τελευταίο αποτέλεσμα ήταν ένα Γ.
Τα σύμβολα ΓΚ, ΓΚΓ, κλπ. που γράφονται κάτω από τους συντελεστές (1/2) δείχνουν τη σειρά των αποτελεσμάτων που υπολογίζει ο κάθε συντελεστής.
Ο πρώτος τύπος πιο κάτω είναι αναδρομικός τύπος πιθανότητας που βοηθάει στο να υπολογίσουμε την πιθανότητα Ρ(ΓΚΓ) πιο κάτω, δηλαδή την πιθανότητα να έρθει πρώτος ο συνδυασμός ΓΚΓ.
Ρ(ΓΚΓ/Γ) = (1/2)*(1/2) + (1/2)*P(ΓΚΓ/Γ) ==> Ρ(ΓΚΓ/Γ) = 1/2
ΓΚ ΓΚΓ ΓΓ
Ρ(ΓΚΓ) = (1/2)*Ρ(ΓΚΓ/Γ) + (1/2)*(1/2)*P(ΓΚΓ/Γ) ==> Ρ(ΓΚΓ) = 3/8
Γ Κ ΚΓ
Αντίστοιχα για να υπολογίσουμε την Ρ(ΚΚΓ) χρησιμοποιούμε πρώτα δύο άλλους βοηθητικούς αναδρομικούς τύπους πιθανοτήτων:
Ρ(ΚΚΓ/Γ) = (1/2)*(1/2) + (1/2)*P(ΚΚΓ/Γ) ==> P(ΚΚΓ/Γ) = 1/2
ΓΚ ΓΚΚ ΓΓ
Ρ(ΚΚΓ/Κ) = (1/2) + (1/2)*P(ΚΚΓ/Γ) ==> P(ΚΚΓ/Κ) = 3/4
ΚΚ ΚΓ
Ρ(ΚΚΓ) = (1/2)*Ρ(ΚΚΓ/Κ) + (1/2)*Ρ(ΚΚΓ/Γ) ==> Ρ(ΚΚΓ) = 5/8
Κ Γ
Από τα παραπάνω προκύπτει πως ο συνδυασμός ΚΚΓ έχει πιθανότητα να εμφανιστεί πρώτος 5/8 και ο συνδυασμός ΓΚΓ έχει πιθανότητα να εμφανιστεί πρώτος 3/8. Άρα ο Βασίλης κερδίζει με πιθανότητα 3/8.
Σε πρώτη προσέγγιση, αυτό το αποτέλεσμα φαίνεται παράδοξο: Αν η ακολουθία ΚΚΓ εμφανίζεται για πρώτη φορά πριν την ΓΚΓ με μεγαλύτερη πιθανότητα, αυτό σημαίνει πως σε μια ακολουθία π.χ. 100 ρίψεων, από οποιοδήποτε αποτέλεσμα και μετά αν αρχίσουμε να ελέγχουμε τις δύο ακολουθίες, θα ήταν πάντοτε πιθανότερο να συναντήσουμε πρώτα την ΚΚΓ. Αυτό φαίνεται να οδηγεί στο συμπέρασμα πως η ακολουθία ΚΚΓ εμφανίζεται συχνότερα από την ΓΚΓ. Όμως μια ανάλυση πιθανοτήτων οδηγεί στο ασφαλές συμπέρασμα πως ο μέσος αριθμός εμφάνισης και των δύο ακολουθιών είναι ίσος με το 1/8 του συνολικού αριθμού ρίψεων. Πώς εξηγείται λοιπόν αυτή η ασυμβατότητα των υπολογισμών μας;
Η εξήγηση που σκέφτηκα γι αυτό το παράδοξο είναι η εξής: Η ΓΚΓ έχει το πλεονέκτημα ότι συνδυάζεται με τον εαυτό της για να δώσει πολλά απανωτά ΓΚΓ με την ελάχιστη απόσταση μεταξύ τους και έτσι αυξάνεται η συχνότητα εμφάνισής της. Π.χ. στην ακολουθία ΓΚΓΚΓΚΓΚΓ έχουμε 4 εμφανίσεις της ακολουθίας ΓΚΓ σε 9 ρίψεις. Αντίστοιχα, σε 9 ρίψεις μπορούμε να έχουμε μόνο μέχρι 3 εμφανίσεις της ακολουθίας ΚΚΓ. Δηλαδή η ακολουθία ΚΚΓ έχει το πλεονέκτημα της πρώτης εμφάνισης από οποιαδήποτε αφετηρία λόγω των δύο ΚΚ, αλλά η ακολουθία ΓΚΓ έχει τη δυνατότητα συχνότερων εμφανίσεων σε δεδομένο αριθμό ρίψεων και τελικά η συχνότητα εμφάνισης των δύο ακολουθιών γίνεται ίση.
Με παρόμοιο τρόπο μπορεί να εξηγηθεί και το ακόλουθο παράδοξο: Η ΚΚ-Γ εμφανίζεται κατά μέσο όρο νωρίτερα από την ΓΚ-Γ όπως έγραψα πιο πάνω, αλλά η ΓΚ εμφανίζεται νωρίτερα από τη ΚΚ. Αυτό το τελευταίο συμπέρασμα προκύπτει από το γεγονός ότι αν εμφανιστεί πρώτα ένα Γ τότε είναι βέβαιο ότι θα εμφανιστεί πρώτη η ακολουθία ΓΚ. Αντίθετα, αν εμφανιστεί πρώτα ένα Κ, δεν είναι βέβαιο ότι θα εμφανιστεί πρώτη η ακολουθία ΚΚ. Η εξήγηση του παραδόξου είναι ότι αν, παρά την εις βάρος της πιθανότητα, εμφανιστεί πρώτη η ΚΚ, τότε είναι βέβαιο ότι θα εμφανιστεί πρώτη η ΚΚΓ, ενώ αν εμφανιστεί πρώτη η ΓΚ δεν είναι βέβαιο ότι θα εμφανιστεί πρώτη η ΓΚΓ.
Ευχαριστώ και συγχαίρω θερμά τους φίλους για τις θαυμάσιες (κατά το πλείστον) λύσεις τους!
Με λίγα λόγια:
1. Το κέντρο του μικρού κέρματος διαγράφει έναν πλήρη κύκλο ακτίνας 1/3+1= 4/3 cm. Το μήκος αυτού του κύκλου είναι ίσο με 4 μήκη κύκλου ακτίνας 1/3 cm. Επομένως το μικρό κέρμα θα χρειαστεί να κάνει 4 περιστροφές.
2. Αν οι δύο πρώτες ρίψεις φέρουν ΚΚ, τότε είναι βέβαιο ότι η ακολουθία θα τελειώσει με ΚΚΓ, ενώ αν φέρουν ΚΓ ή ΓΚ ή ΓΓ τότε οι πιθανότητες να τελειώσει με ΚΚΓ ή ΓΚΓ είναι μοιρασμένες. Επομένως, η πιθανότητα νίκης του Βασίλη είναι:
1/4*0+3/4*1/2=3/8