Ο γρίφος της εβδομάδας – Βρείτε τον εξαψήφιο αριθμό

Ένας εξαψήφιος φυσικός αριθμός έχει άθροισμα ψηφίων 43 και δύο ακριβώς από τις παρακάτω τρεις ιδιότητες:

α) είναι τέλειο τετράγωνο

β) είναι τέλειος κύβος

γ) είναι μικρότερος από 500000.

Ποιος είναι ο αριθμός;

5 σχόλια

  1. Στράτος

    Ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 499.849=707^2

    Εφ’όσον ο ζητούμενος αριθμός έχει άθροισμα ψηφίων 43, σημαίνει ότι είναι 7mod(9). Ομως ο κύβος κάθε φυσικού αριθμού μπορεί να είναι είτε 0mod(9) , είτε 1mod(9) , είτε 8mod(9), και πάντως ποτέ 7mod(9). Επομένως ο ζητούμενος αριθμός δεν μπορεί να είναι τέλειος κύβος, αρα είναι τέλειο τετράγωνο και <500.000.
    Οι αριθμόί των οποίων το τετράγωνο είναι 7mod(9), είναι εκείνοι οι οποίοι είναι είτε 4mod(9), είτε 5mod(9)
    Υπάρχουν 391 φυσικοί αριθμοί (317-707), που το τετράγωνο τους είναι εξαφήφιο<500.000. Από αυτούς οι 88 είναι είτε 4mod(9), είτε 5mod(9). Ο μόνος που το τετράγωνο του εχει άθροισμα ψηφίων 43 είναι ο 707 (707^2=499.849)

  2. pantsik

    Κανένας εξαψήφιος τέλειος κύβος δεν έχει άθροισμα ψηφίων 43. Άρα οι δύο ιδιότητες που ισχύουν είναι τέλειο τετράγωνο και < 500.000. Η μόνη συμβατή περίπτωση είναι ο αριθμός 499.849.

  3. ΚΔ

    Οι τετράγωνοι λήγουν σε 0,1,4,5,6,9. Πιθανοί κύβοι μικρότεροι του 500.000 οι 49^3, 51^3, 54^3, 55^3, 56^3, 59^3 και οι αντίστοιχοι με δεκάδες 6, 7. Εξαιρούνται οι λήγοντες σε 0 λόγω αθροίσματος ψηφίων. Κανείς απ’ αυτούς όμως δεν είναι τετράγωνος. Άρα ψάχνω τετράγωνο μικρότερο του 500.000 με άθροισμα ψηφίων 43. Είναι 707^2=499.849.

  4. Β.Γ.

    Για να ισχύουν οι ιδιότητες (α,β) , δηλ Ν=χ^2=ψ^3 όπου Ν ο 6ψηφιος αριθμός , πρέπει χ=κ^3 και ψ=κ^2 όπου κ φυσικός αριθμός με 7<=κ<=9 ώστε να προκύπτει Ν 6ψηφιος . Για τις 3 όμως τιμές του κ δεν προκύπτει Ν με άθροισμα ψηφίων =43 . Έτσι η ιδιότητα που ισχύει είναι σίγουρα η (γ) . Δοκιμάζουμε τωρα την ιδιότητα (α) χ^2 , με 317<=χ<=707 , ώστε ο Ν να είναι 6ψηφιος και <500000 . Δοκιμάζουμε τωρα τη μεγαλύτερη τιμή του χ = 707 . Το αποτέλεσμα είναι 707^2=499849 . Ο 6ψηφιος αυτός αριθμός ικανοποιεί τις ιδιότητες (α,γ) και συγχρόνως το άθροισμα των ψηφίων του είναι = 43 . Έτσι ο ζητούμενος Ν είναι ο 499849 .

  5. ΚΣ

    Για να είναι ένα αριθμός ταυτόχρονα και τέλειο τετράγωνο και τέλειος κύβος θα πρέπει να ισούται με χ^6. Αν ψάξουμε τους φυσικούς αριθμούς υψωμένους εις την έκτη μέχρι το 10^6 θα δούμε ότι κανένας δε μας κάνει (άθροισμα 43). Αυτό σημαίνει ότι α και β δεν μπορούν να συνυπάρχουν και ξέρουμε ότι σίγουρα ο ζητούμενος είναι κάτω από 500000. Μας κάνει η περίπτωση που ισχύουν α και γ . Ο ζητούμενος αριθμός είναι ο 707^2=499849 με άθροισμα ψηφίων 43.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *