Σ΄ ένα κύκλο Ο κινείται μια χορδή ΑΒ παράλληλα προς μια δοσμένη διεύθυνση.
Σε ποια θέση της χορδής ΑΒ το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ είναι μέγιστο;
Σ΄ ένα κύκλο Ο κινείται μια χορδή ΑΒ παράλληλα προς μια δοσμένη διεύθυνση.
Σε ποια θέση της χορδής ΑΒ το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ είναι μέγιστο;
Είναι (OAB)=1/2*R^2*sinO με μέγιστη τιμή για sinO=1, O=90 μοίρες.
Εμβαδόν τριγώνου ΑΟΒ = βάση*ύψος/2. Αν R είναι η ακτίνα του κύκλου και θεωρήσουμε πως η ΟΑ είναι η βάση του τριγώνου τότε το ύψος του γίνεται μέγιστο αν είναι και αυτό R. Δηλαδή όταν η γωνία ΑΟΒ είναι ορθή, τότε το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται (R^2)/2 και είναι το μέγιστο. Το μήκος της χορδής ΑΒ είναι sqrt(2)*R και η απόστασή της από το κέντρο είναι R/sqrt(2).
Ε(ΑΟΒ)=1/2(ΑΒ)*υ . Είναι όμως ΑΒ/2 = ρ*ημ(Φ/2) , όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και Φ η γωνία ΑΟΒ και υ=ρ*συν(Φ/2) . Έτσι Ε(ΑΟΒ) = 1/2*2*ρ^2*ημ(Φ/2)*συν(Φ/2) = (ρ^2)/2*ημ(Φ) . Το εμβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ γίνεται μέγιστο για Φ = 90 μοίρες , Ε(ΑΟΒ) = (ρ^2)/2 .
Υπαρχουν 2 τρόποι κατά τη γνώμη μου για να λυθει
1oς
Φερουμε μια τυχαια χορδή ΑΒ και κατασκευάζουμε το τρίγωνο ΟΑΒ
Φερουμε το ύψος του ΟΚ , με το σημείο Κ να χωρίζει τη βάση σε 2 ισα τμήματα ΚΑ=ΚΒ
εφόσον ειναι ισοσκελές (ΚΑ=ΚΒ=R)
Εστω οι 2 ίσες γωνιες του ισοσκελούς φ
Ασχολούμαστε με το 1 από τα 2 ίσα τρίγωνα τα οποία χωρίζει το υψος που φέραμε , έστω το ΟΚΑ
Εχουμε ημφ= ΟΚ/R και συνφ=ΚΑ/R
Αρα ΟΚ=R*ημφ και ΚΑ=συνφ*R
Ισχύει πως Εμβαδο=βαση * υψος /2= ΟΚ *ΚΑ/2= R^2* ημφ *συνφ=R^2*ημ2φ
Το εμβαδο μεγιστοποιείται οταν έχουμε το μέγιστο ημ2φ=1 που προκύπτει για φ=45
Αφου ημ90=1
Αρα το μέγιστο εμβαδο το έχουμε αν το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές δηλαδή η χορδή απο το σημείο Κ σε OK= R*ημ45=R*(SQROOT(2)/2) μετρώντας από το κέντρο του κύκλου
2ος τρόπος
Βρίσκεται στο παραπάνω τρίγωνο (με φ=45 ισες γωνίες και ορθογώνιο) αφού ειναι κομμάτι ενός τετραγώνου το οποίο ειναι προφανώς εγγράψιμο πολύγωνο σε κύκλο
Κάθε πλευρά του ισούται με ακτίνα R
Από γνωστό αξίωμα της γεωμετρίας ισχύει ότι για δοσμένη περίμετρο ο κύκλος ειναι το σχήμα που περικλείει το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν, όπως επίσης και τα εγγεγραμένα πολύγωνα σε αυτόν σε σχέση με υπόλοιπα ίδιου μήκους πλευρών
Ειναι προφανές ότι όλες οι άλλες θέσεις αντιστοιχούν σε ρόμβους πλευρών R που δεν είναι εγγεγραμένα σε κύκλο αλλά σε έλλειψη .Οπότε αναγκαστικά αυτη η διάταξη αντιστοιχεί στο μεγαλύτερο εμβαδόν!!!