Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο τα μέτρα των γωνιών είναι ακέραιοι και εκφράζονται σε μοίρες και η τιμή της μεγαλύτερης γωνίας είναι πενταπλάσια από την τιμή της μικρότερης γωνίας.
Είναι δυνατόν να βρούμε τις τιμές των γωνιών του ;
Ο γρίφος της εβδομάδας – «Το Οξυγώνιο τρίγωνο»
Έστω α η μεγαλύτερη β η μεσαία και γ η μικροτερη
Οι τιμές ειναι
α=85 β=78 γ=17
Με βάση τα δεδομένα έχουμε όλες τις γωνίες μικρότερες των 90 μοιρών και α=5γ
Επομενως 5γ+β+γ=180. κα έχουμε 6γ+β=180
Για να είναι η β90 ή 6γ>90. Επομενως γ> (90/6) συνεπώς γ>15 μοιρων
Επίσης η α πρέπει να είναι α<90 ή 5γ<90 συνεπώς γ< (90/5) επομένως γα και δεν ισχύει
Συνεπώς γ=17
Aν Γ=χ,Α=5χ,Β=y είναι 6χ+y=180 με y15 και 5x<90 άρα χ<18. Για χ=16 έχω 5χ=80, y=84 αδύνατο γιατί y<=5χ, ενώ για χ=17 έχω 5χ=85, y=78 δεκτό. Άρα Γ=17,Α=85,Β=78.
… με y15 …
στη θέση του y15
Απαντηση
Έστω Α>Β>Γ , Α+Β+Γ=180 , Α=5Γ
Γ<90/5 = 18. Άρα Γ<=17
Ακόμη 6Γ+Β = 180 έπεται. Γ = 30-Β/6 =78 και επειδή
Β<90 και ακόμη επειδή 6|Β δεκτές τιμές του Β = 78 που επεται Γ = 17 και Α = 85 αποδεκτή λύση ή
Β = 84 που επεται Γ = 16 και κατα συνέπεια Α = 80 < Β μη αποδεκτή
Έτσι τελικά αποδέκτες τιμές Α = 85 , Β = 78 , Γ = 17 .
Ναι, είναι δυνατόν. Η μικρότερη γωνία είναι 17 μοιρών , η μεσαία γωνία είναι 78 μοιρών και η μεγαλύτερη 85 μοιρών. Έστω α, β, και γ σε μοίρες οι γωνίες του οξυγώνιου τριγώνου (α+β+γ=180 μοίρες). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
α+β+γ=180 (1)
γ=5α (2)
Αντικαθιστούμε την (1) στη (2) κι΄έχουμε:
α+β+γ=180 – α+β+5α=180 — β+6α=180 —
β=180-6α (3)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε τη διερεύνηση των ριζών. Η τιμή του “β” πρέπει να είναι ένας αριθμός θετικός και ακέραιος, συνεπώς δίδοντας στο”α” την τιμή 17, η οποία είναι και η μοναδική τιμή που μπορεί να πάρει το «α» και ικανοποιεί την συνθήκη του προβλήματος , αφού σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση η «5x» δε θα είναι η μεγαλύτερη γωνία. Αντικαθιστούμε τη τιμή του “α” στην (3) κι’ έχουμε:
β=180-6α (3) –> β=180-6*17 —> β=180-102 — β=78 (4)
Αντικαθιστούμε την τιμής του «α» στη (2) κι΄έχουμε :
γ=5α — γ=5*17 — γ=85 (λκ5)
Επαλήθευση:
α+β+γ=180 — 17+75+85=180
γ=5α — γ=5*17 — γ=85 ο.ε.δ.
Η μικρότερη εστω φ
Η μεγαλύτερη 5φ
Η τριτη(μεσαια)180-6φ
Όμως 5φ<90 αρα
φ180-6φ
Αρα 11φ>180
Αρα φ>16
Λύση
φ=17=Γ
5φ=85=Α
180-6φ=78=Β
Διόρθωση 5φ<90
φ16
φ=17
Ανεβάζω κι εγώ δύο δικές μου ασκήσεις.
1. Έστω ένα τρίγωνο ΑΒΓ με Α=100μοίρες ,Β=50 μοίρες και Γ=30μοίρες.Αν το ύψος ΑΗ και η διχοτόμος ΒΕ τέμνονται στο σημείο Κ ,να υπολογίσετε τη γωνία ΚΗΕ.
2. Σε τρίγωνο ΑΒΓ οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ εξ. τέμνονται στο σημείο Ι. Αν η διχοτόμος της γωνίας Α τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο ,να αποδείξετε ότι ΒΙΓ=ΗΑΓ.