Ο γρίφος της εβδομάδας – «Οι αριθμοί»

...4

Να βρεθούν οι ακέραιοι θετικοί αριθμοί Α, Β για τους οποίους ισχύει:

ΑΒχΑΑ=ΒΑΑΒ.

Προτάθηκε από Κωστούλα Δημήτριο

4 σχόλια

  2. Β. Γ.

    Απαντηση
    Σε αναλυτική έκφραση η παραπάνω σχέση γράφεται:
    (10Α+Β)(10Α+Α) = 1000Β +100Α+10Α+Β ή μετά τις πράξεις και αναγωγές προκύπτει η ισότητα :
    110*Α^2 + 11*Α*Β = 1001*Β + 110*Α . Η ισότητα αυτή για τη μικρότερη δυνατή τιμή του Β=1 , επαληθεύεται για Α>3 . Έτσι αναζητούμε ζεύγη ακέραιων θετικών με Α>=4 . Εύκολα για τις διάφορες τιμές του Α>=4 , και λύνοντας ως προς Β , καταλήγουμε στο μοναδικό ζεύγος ακέραιων θετικών τιμών που επαληθεύει την ισότητα είναι : Α=7 και Β =5 . Έτσι οι αριθμοί είναι : 75*77=5775
    Ο έλεγχος για Α=Β , καταλήγει στο Α=Β=0

  3. Carlo de Grandi

    Για Α=1 Δεν ισχύει. Άρα Α>1, οπότε έχουμε:
    ΑΒ*11Α=1.000Β+100Α+10Α+Β -
    ΑΒ*11*Α=1.001Β+110Α –
    Αναλύουμε τον αριθμό 1.001 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων:
    1.001=7*11*13
    ΑΒ*11*Α=7*11*13β+11*10*α –
    ΑΒ*11*Α=11*(7*13*Β+10*Α) –
    ΑΒ*Α=11*(7*13*Β+10*Α)/11 –
    ΑΒ*Α=7*13*Β+10*Α —
    (10*Α+Β)*Α=7*13*Β+10*Α —
    10*Α^2+Β*Α=7*13*Β+10*Α —
    10*Α^2+Β*Α-10*Α=7*13*Β —
    Α*(10*Α+Β-10)=7*13*Β (1)
    Οι αριθμοί 7 και 13 είναι πρώτοι. Άρα Α=7 ή ο αριθμός Α είναι διαιρέτης του αριθμού Β.

    (1) Για Α=7
    Αντικαθιστούμε την τιμή του Α στην (1) κι’ έχουμε:
    Α*(10*Α+Β-10)=7*13*Β –
    7*(10*7+Β-10)=7*13*Β —
    7*(70+Β-10)=7*13*Β —
    7*(60+Β)=7*13*Β —
    60+Β=7*13*Β/7 —
    60+Β=13*Β —
    13*Β-Β=60 —
    12*Β=60 — Β=60/12 — Β=5
    Αντικαθιστούμε τις τιμές Α και Β κι’ έχουμε ως αποτέλεσμα:
    ΑΒ*ΑΑ=ΒΑΑΒ — 75*77=5775
    Έναν καρκινικό ή παλινδρομικό αριθμό.
    (2) Εάν ο αριθμός Α είναι διαιρέτης του αριθμού Β.
    Β=λ*Α
    όπου λ είναι ένας φυσικός αριθμός διάφορος του μηδενός (λ∈Ν*)
    Αντικαθιστούμε την τιμη Β στην (1) κι’ έχουμε:
    Α*(10*Α+Β-10)=7*13*Β —
    Α*(10*Α+λ*Α-10)=7*13*λ*Α —
    10*Α+λ*Α-10=91*λ*Α/Α —
    10*Α+λ*Α-10=91*λ —
    λ*Α-91*λ= -10*Α+10 —
    λ*(Α-91)= -10*(Α+1) —-
    λ=10*(Α-1)/91-Α
    Όμως λ>1
    Οπότε έχουμε:
    10*Α-10/(91-Α)>1 , (91>Α) —
    10*Α-10>1*(91-Α) —-
    10*Α-10>91-Α
    10*Α+Α>91+10 —
    11*Α>101 —
    Α>101/11 —
    Α>9,1818 Άτοπο.
    Άρα δεν ισχύει η δεύτερη περίπτωση

  4. Κιτσακης Παναγιωτης

    Α=7
    Β=5
    ΑΒ χ ΑΑ=75 χ 77 =5775

Απάντηση