Mια επιτροπή μουσικών βαθμολογεί τους διαγωνιζόμενους τραγουδιστές με ακέραιο βαθμό από 1 έως 10.
Ένας διαγωνιζόμενος συγκέντρωσε μέση βαθμολογία 7,2.
Πόσα τουλάχιστον μέλη έχει η επιτροπή αυτή;
Ο γρίφος της Εβδομάδας – «Η επιτροπή»
Mια επιτροπή μουσικών βαθμολογεί τους διαγωνιζόμενους τραγουδιστές με ακέραιο βαθμό από 1 έως 10.
Ένας διαγωνιζόμενος συγκέντρωσε μέση βαθμολογία 7,2.
Πόσα τουλάχιστον μέλη έχει η επιτροπή αυτή;
O ελάχιστος μη μηδενικός φυσικός που αν πολλαπλασιαστεί με το 7,2 και δώσει γινόμενο φυσικό είναι ο 5. Άρα η επιτροπή έχει 5 το λιγότερο μέλη.
Τουλαχιστον 5, αφου 7, 2*5=36, οπου ειναι ακεραιος, δεδομενου οτι οι βαθμοι ειναι ακεραιοι, αρα και το αθροισμα τους το ιδιο.
Απάντηση
Εστωσαν Σ το άθροισμα της βαθμολογίας , ακέραιος αριθμός και Ν το πλήθος των μελών της επιτροπής .
Έτσι η μέση βαθμολογία είναι ίση με Σ/Ν = 7,2 . Επεται Σ = Ν*7,2 . Για να προκύπτει Σ ακέραιος , η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο Ν = 5 . Ακέραιες τιμές του Σ δίνουν προφανώς όλα τα ακέραια πολλαπλάσια του 5 .
Έτσι τελικά η επιτροπή έχει 5 τουλάχιστον μέλη .
Αν κ ο αριθμός των κριτών και Χν ένας εξ αυτών, 0<ν<κ+1, τότε (Χ1+Χ2+…+Χκ)/κ=7,2. Έτσι κ επί 0,2 είναι ακέραιος αφού είναι ίσος με (Χ1+Χ2+…+Χκ) – 7κ. Άρα ελάχιστη τιμή του κ είναι 5.
Οι κριτές πρέπει να είναι 5 γιατί το 7,2 αν πολλαπλασιαστεί με το 5 βγάζει ακέραιο γινόμενο.
Πολύ απλό. ΛΥΣΗ. Το 7,2 μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα 72/10 ,όμως θέλουμε ο παρονομαστής να είναι ο μικρότερος δυνατός ,άρα είναι το 5.