Ο γρίφος της Εβδομάδας – «Τα χρήματα»

...7

Τρεις φοιτητές ο Α, ο Β και ο Γ παίζουν ένα παιχνίδι μαθηματικών γνώσεων με την εξής συμφωνία:

Θα ξεκινήσει ο καθένας με ένα τυχαίο ποσό χρημάτων, όχι υποχρεωτικά ίδιο με το ποσό των άλλων.

Όμως κάθε φορά, εκείνος που θα χάνει, θα διπλασιάζει τα χρήματα που έχουν μπροστά τους οι άλλοι δυο.

Παίχτηκαν τρία παιχνίδια.

Πρώτος έχασε ο Α, δεύτερος ο Β και τρίτος ο Γ.

Στο τέλος βρέθηκαν όλοι να έχουν από 24 ευρώ.

Πόσα χρήματα είχε ο καθένας στην αρχή του παιχνιδιού;

7 σχόλια

  1. ΚΔ

    ή με σύστημα
    Αν α,β,γ τα αρχικά ποσά λύνοντας το α-β-γ=6, 3β-α-γ=12, 7γ-α-β=24, που προκύπτει από τις 3 φάσεις:
    1η
    Α:α-β-γ, Β:2β, Γ:2γ
    2η
    Α:2α-2β-2γ, Β:3β-α-γ, Γ:4γ
    3η
    Α:4α-4β-4γ, Β:6β-2α-2γ, Γ:7γ-α-β
    καταλήγω α=39,β=21,γ=12
    ή
    αντίστροφα θεωρώντας ότι πριν την 3η φάση ο Α και ο Β είχαν από 12 και ο Γ 48, πριν την 2η φάση
    ο Α είχε 6, ο Γ 24 και ο Β 42 και πριν την 1η φάση ο Β είχε 21, ο Γ 12 και ο Α 39.

  2. Carlo de Grandi

    Ο «Α» είχε 39€, ο «Β» είχε 21€ και ο «Γ» είχς 12€. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος ο κάθε φίλος είχε 24€, οπότε καταλήγουμε στις παρακάτω εξισώσεις:
    4α-4β-4γ=24 (1)
    6β-2α-2γ=24 (2)
    7γ-β-α=24 (3)
    Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1) και (2) κι΄έχουμε:
    4α-4β-4γ=24
    6β-2α-2γ=24
    4α-4β-4γ+6β-2α-2γ=24+24 – 2α+2β-6γ=48 — 2*(α+β-3γ)=48 — α+β-3γ-48/2 –
    α+β-3γ=24 —0 α+β=24+3γ (4)
    Από την (3) συνάγουμε ότι:
    7γ-β-α=24 – α+β=7γ-24 (5)
    Αντικαθιστούμε την (5) στην (4) κι’ έχουμε:
    α+β=24+3γ — 7γ-24-24+3γ — 7γ-3γ=24+24 — 4γ=48 —- γ=48/4 —- γ=12 (6)
    Αντικαθιστούμε την (6) στην (5) κι’ έχουμε:
    α+β=7γ-24 — α+β=7*12-24 — α+β=84-24 — α+β=60 (7)
    Από την εξίσωση αυτή προκύπτουν οι εξής εξισώσεις:
    α=60-β (8)
    β=60-α (9)
    Αντικαθιστούμε τις (6) και (8) στην (1) κι’ έχουμε:
    4α-4β-4γ=24 — 4*(60-β)-4β-4*12=24 — 240-4β-4β-48=24 —- 8β=240-48-24 —-
    8β=240-72 —- 8β=168 —- β=168/8 —- β=21 (10)
    Αντικαθιστούμε την (10) στην (8) κι’ έχουμε:
    α=60-β — α=60-21 —- α=39 (11)
    Επαλήθευση
    4α-4β-4γ=24 — 4*39-4*21-4*12=24 —- 156-84-48=24 — 156-132=24
    6β-2α-2γ=24 — 6*21-2*39-2*12=24 — 126-78-24=24 — 126-102=24
    7γ-β-α=24 — 7*12-21-39=24 —- 84-60=24
    Διευκρίνιση:
    Από το βιβλίο του Nicola Chuquet (1445-1488) με τίτλο «Triparty en la science des nombres – Τριμερής Αριθμητική ή Τριμερής στην επιστήμη των αριθμών», 1484
    Όρα εικόνα και σχηματική παράσταση του πίνακα εδώ:
    https://imgur.com/a/LqnFo2W

  3. Μάριος

    Έστω ότι ο καθένας είχε α, β, γ ποσό στην αρχή. Μετά τον πρώτο γύρο θα έχουν:
    1ος α-β-γ
    2ος 2β
    3ος 2γ
    Μετά το δεύτερο παιχνίδι θα έχουν:
    1ος 2(α-β-γ)
    2ος 2β – (α-β-γ+2γ)
    3ος 4γ
    Μετά τον τρίτο γύρο θα έχουν:
    1ος 4(α-β-γ) = 24 άρα α-β-γ = 6
    2ος 2[2β – (α-β-γ + 2γ)]= 24 άρα 2(2β – α + β + γ – 2γ) = 24 άρα 4β -2α +2β + 2β – 4γ =24 άρα 6β – 2α – 2γ =24 άρα 3β – α – γ = 12
    3ος 4γ – [2(α-β-γ)+3β – α- γ] = 24 άρα …….. 7γ- α -β = 24
    Προσθέτω κατά μέλη την πρώτη και την τρίτη εξίσωση:
    α-β-γ+7γ-α-β = 30 άρα 6γ – 2β = 30 άρα 3γ – β =15
    Προσθέτω την πρώτη και την δεύτερη εξίσωση:
    α-β-γ+3β-α-γ=18 άρα 2β – 2γ =18 άρα β-γ =9 άρα β= 9+γ, οπότε αντικαθιστώ το β στην παραπάνω εξίσωση: 3γ – β = 15 άρα 3γ -9 – γ = 15 άρα 2γ = 24 άρα γ = 12
    Οπότε β = 9 +12 = 21
    και α=6+21+12 = 39

    Α: 39
    Β: 21
    Γ: 12
    σύνολο μαζί 72 Ευρώ

  4. Μαυρογενης

    Α 39
    Β 21. Γ12 συνολο 3χ24 = 72

  5. Όλγα

    6. 6. 6
    6. 12. 12
    12. 12. 24
    24. 24. 24
    Άρα στην αρχή είχαν όλοι από 6 ευρώ.

  6. Β. Γ.

    Απάντηση
    Εστωσαν α , Β , γ τα ποσά που έχουν στο ξεκίνημα οι παίκτες Α , Β , Γ αντίστοιχα . Στο τέλος του πρώτου παιχνιδιού εμπρός τους έχουν .
    Α : α – β – γ
    Β : 2β
    Γ : 2γ
    Στο τέλος του δεύτερου παιχνιδιού
    Α : 2(α – β – γ)
    Β : -α + 3β – γ
    Γ : 4γ
    Στο τέλος του τρίτου παιχνιδιού
    Α : 4α – 4β – 4γ = 24
    Β : -2α + 6β -2γ = 24
    Γ : -α – β +4γ = 24
    Η λύση αυτού του απλού συστήματος δίνει τα αρχικά ποσά
    α = 12. β = 21 γ = 39

  7. Β. Γ.

    Διόρθωση
    Κατα τη μεταφορά έγιναν δυο λάθη και επαναλαμβάνω το τελευταίο τμήμα
    Γ. -α – β + 7γ = 24
    α = 39. β = 21. γ = 12

Απάντηση