Αθανάσιος Φωκάς: Η λύση σε ένα από τα μεγαλύτερα ανοιχτά προβλήματα των μαθηματικών

Ο Αθανάσιος Φωκάς  εισάγει μια νέα μεθοδολογία που προτείνει μια λύση σε ένα από τα μεγαλύτερα ανοιχτά προβλήματα στην ιστορία των μαθηματικών

Μια εντελώς νέα προσέγγιση υποδηλώνει την εγκυρότητα της υπόθεσης Lindelöf, 110 ετών, ανοίγοντας τις δυνατότητες νέων ανακαλύψεων στην κβαντική πληροφορική, τη θεωρία αριθμών και την ασφάλεια στον κυβερνοχώρο

Ο Αθανάσιος Φωκάς, μαθηματικός από το Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Θεωρητικής Φυσικής του Πανεπιστημίου του Καίμπριτζ και επισκέπτης καθηγητής στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών του Ming Hsieh στη Σχολή Μηχανικών του USC Viterbi, ανακοίνωσε μια νέα μέθοδο που προτείνει μια λύση σε ένα από τα μακροχρόνια – εκκρεμή προβλήματα στην ιστορία των μαθηματικών, η υπόθεση Lindelöf.

Το αποτέλεσμα , που ανακοινώθηκε στις 25 Ιουνίου 2018, στο Πρώτο Συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας στην Αθήνα υπό την αιγίδα του Προέδρου της Ελλάδας, Προκόπιου Παυλόπουλου, έχει εκτεταμένες επιπτώσεις σε τομείς όπως η κβαντική υπολογιστική, η θεωρία αριθμών και η κρυπτογράφηση που σχηματίζουν τη βάση για την κυβερνοασφάλεια.

Το 1908 από τον φινλανδό τοπολόγο Ernst Leonard Lindelöf, η υπόθεση Lindelöf είναι μια εικασία σχετικά με τον ρυθμό ανάπτυξης της συνάρτησης Zeta Riemann στην κρίσιμη γραμμή που συνεπάγεται ένα από τα πιο διάσημα άλυτα προβλήματα που σχετίζονται με τους πρωταρχικούς αριθμούς, την υπόθεση Riemann, δημοφιλή αναφέρεται ως το Άγιο Δισκοπότηρο των μαθηματικών.

Το Lindelöf υπονοεί το μεγαλύτερο μέρος των ισχυρισμών του Riemann και του Riemann υπονοεί πλήρως το Lindelöf, επομένως μια απόδειξη του Lindelöf ισοδυναμεί με μια σημαντική ανακάλυψη στον τομέα των μαθηματικών.

Ο Bernhard Riemann βασιλεύει ως μαθηματικός που έκανε τη μοναδική μεγαλύτερη ανακάλυψη στη θεωρία του πρώτου αριθμού. Οι πρωταρχικοί αριθμοί – αριθμοί όπως τα 2, 3, 5, 7 και 11 που διαιρούνται μόνο από το 1 και το ίδιο – είναι ιδανικοί για πράγματα όπως η κρυπτογράφηση RSA, η οποία προστατεύει τις πολλές διαδικτυακές μας αγορές. Οι πρωταρχικοί αριθμοί είναι κυριολεκτικά τα μυστικά «κλειδιά» που κρύβουν την τελευταία σας αγορά Amazon $ 35 από αδιάκριτα μάτια.

Η συνάρτηση Rieta zeta είναι ένα σχεδόν μαγικό εργαλείο στη θεωρία αριθμών που χρησιμοποιείται για τη διερεύνηση των ιδιοτήτων των πρώτων αριθμών. Έχει ωθήσει την επιστημονική κατανόηση σε πολλούς τομείς, συμπεριλαμβανομένης της βιολογίας, της χημείας και της φυσικής, όλα χωρίς επίσημη απόδειξη της διάσημης υπόθεσης του Ρίμαν. «Η αποτυχία της υπόθεσης Ρίμαν,» έγραψε ο θεωρητικός αριθμού Enrico Bombieri, «θα δημιουργούσε χάος στη διανομή των πρώτων αριθμών».

Από τη δημοσίευσή του, το έγγραφο του Riemann υπήρξε το κύριο επίκεντρο της θεωρίας πρωταρχικού αριθμού και ο κύριος λόγος για την απόδειξη κάτι που ονομάζεται θεώρημα πρωταρχικού αριθμού το 1896. Έκτοτε, έχουν βρεθεί αρκετές νέες αποδείξεις, συμπεριλαμβανομένων των στοιχειωδών αποδείξεων από τους Selberg και Erdós. Ωστόσο, η υπόθεση του Riemann σχετικά με τις ρίζες της συνάρτησης zeta παραμένει μυστήριο. Το μυστήριο του επιδεινώνεται από το γεγονός ότι η συνάρτηση R zeta εξαρτάται από μια σύνθετη μεταβλητή και δεν έχει έκφραση κλειστής μορφής – δηλαδή δεν μπορεί να εκφραστεί ως ένας μοναδικός τύπος που περιέχει άλλες τυπικές συναρτήσεις.

Εάν η υπόθεση Riemann αποδειχθεί σωστή, θα επιτρέψει στους μαθηματικούς να περιγράψουν καλύτερα τον τρόπο με τον οποίο τοποθετούνται οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ ολόκληρων αριθμών. Η υπόθεση Riemann έχει χαρακτηριστεί τόσο σημαντική για τον τομέα των μαθηματικών και είναι τόσο δύσκολο να αποδειχθεί, ότι το Ινστιτούτο Μαθηματικών Clay έχει προσφέρει 1.000.000 $ στο πρώτο άτομο που το απέδειξε.

«Στην κρίσιμη γραμμή, η συνάρτηση Riemann εξαρτάται μόνο από τη μεταβλητή t», είπε ο Fokas που πέρασε σχεδόν εννέα χρόνια παλεύοντας με τον Lindelöf. «Η υπόθεση Riemann μπορεί να επαληθευτεί με τον σημερινό υπολογιστή για έως και 10 έως την ισχύ 13, που είναι πολύ μεγάλος αριθμός, αλλά εξακολουθεί να είναι πολύ μικρός σε σύγκριση με το άπειρο. Αυτό δείχνει ότι πρέπει να κατανοήσουμε τη συμπεριφορά της συνάρτησης R zeta όταν το t είναι πολύ μεγάλο. Εδώ μπαίνει η υπόθεση Lindelöf, η οποία συνδέει ότι η συνάρτηση R zeta έχει μια συγκεκριμένη μορφή καθώς το t γίνεται πολύ μεγάλο. “

Ο Fokas είναι παγκόσμιος εμπειρογνώμονας στα ασυμπτωτικά, ένας εφαρμοσμένος μαθηματικός τομέας που βοηθά τους επιστήμονες να απαντήσουν σε ερωτήσεις σχετικά με τη συμπεριφορά των λειτουργιών όταν μια παράμετρος είναι πολύ μεγάλη. Το έργο του Lindelöf μπορεί να σημαίνει μια σημαντική ανακάλυψη στην κατανόηση της αλγοριθμικής πολυπλοκότητας, ένα πολύ σημαντικό θέμα στην επιστήμη των υπολογιστών. Η γνώση της πολυπλοκότητας των αλγορίθμων μας επιτρέπει να απαντήσουμε σε ερωτήσεις όπως το πόσο καιρό θα εκτελείται ένα πρόγραμμα σε μια είσοδο; Πόσος χώρος θα πάρει; Είναι το πρόβλημα επιλύσιμο;

«Η προσέγγισή μου ήταν εντελώς διαφορετική από τις συνηθισμένες προσεγγίσεις που χρησιμοποιούνται», είπε ο Φωκάς. «Ενσωμάτωσα πρώτα τη συνάρτηση R zeta μέσα σε ένα μεγαλύτερο πρόβλημα, δηλαδή βρίσκω ότι η συνάρτηση R zeta ικανοποιεί ένα πολύ σημαντικό πρόβλημα σε πολύπλοκη ανάλυση που ονομάζεται πρόβλημα Riemann-Hilbert. Στη συνέχεια, υπολογίζω τη μεγάλη συμπεριφορά αυτού του προβλήματος. Εκτός από το ότι είναι εννοιολογικά καινοτόμο, αυτή η προσέγγιση είναι τεχνικά πολύ δύσκολη λόγω της ανάλυσης του προαναφερθέντος προβλήματος Riemann-Hilbert. “

Από πολλές απόψεις, ο Φωκάς είναι ο πνευματικός κληρονόμος του Ρώσου-Αμερικανού μαθηματικού και βιολόγου Ισραήλ Γκελφάντ, που θεωρείται ένα από τα μεγαλύτερα μαθηματικά μυαλά του 20ού αιώνα, ο οποίος κατά τον Φωκά που έλαβε το Βραβείο Αριστείου στις Επιστήμες από την Ακαδημία Αθηνών το 2004, έγραψε για το στενός συνεργάτης: «Ο Φωκάς είναι τώρα ένα πολύ σπάνιο παράδειγμα ενός επιστήμονα στο ύφος της Αναγέννησης.»

Πράγματι, ο Φωκάς κέρδισε το πτυχίο του στην αεροναυτική από το Imperial College, Ph.D. στα εφαρμοσμένα μαθηματικά από το Caltech και MD από το Πανεπιστήμιο του Μαϊάμι. Κατέχει τον Πρόεδρο της Μη Γραμμικής Μαθηματικής Επιστήμης στο Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ και είναι επί του παρόντος ανώτερος συνεργάτης του Συμβουλίου Έρευνας Μηχανικών και Φυσικών Επιστημών του Ηνωμένου Βασιλείου.

Το 2000, ο Φωκάς απονεμήθηκε το Βραβείο Naylor, ένα χρόνο μετά την απονομή του ίδιου βραβείου στον μαθητή Stephen Hawking. Είναι επίσης πλήρες μέλος της Ακαδημίας Αθηνών και συνεργάτης του Guggenheim. Η «Μέθοδος Fokas» του για την επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων έχει αντικαταστήσει πλήρως τις μεθόδους μετασχηματισμού που ανακαλύφθηκαν τον 18ο αιώνα και χρησιμοποιείται για πάνω από 250 χρόνια. Ένα πρόσφατο άρθρο στο «Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) Review», συγκρίνει τον αντίκτυπο της μεθόδου Fokas στα μαθηματικά με εκείνη του «Fosbury flop» στο άλμα.

Τμήματα αυτού του έργου είναι από κοινού με αρκετούς νέους μαθητές που αυξάνονται, συμπεριλαμβανομένου του Jonathan Lenells του Βασιλικού Ινστιτούτου Τεχνολογίας (KTH) Σουηδίας. Κωνσταντίνος Καλλιμέρης, ανώτερος επιστήμονας στο Ινστιτούτο Υπολογιστικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών του Johann Radon, Αυστριακή Ακαδημία Επιστημών. Anthony Ashton και Arran Fernandez του Πανεπιστημίου του Cambridge. και ο Euan Spence του Πανεπιστημίου του Bath.

πηγή: https://viterbischool.usc.edu/

 

* Αν κάποια  εικόνα υπόκειται σε πνευματικά δικαιώματα παρακαλούμε να μας ενημερώσετε για να την αντικαταστήσουμε.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *