Ο γρίφος της Εβδομάδας – “Ο Αριθμός”

...3

Είμαι ένας τριψήφιος αριθμός.

Αν με πολλαπλασιάσεις με το 2, αφαιρέσεις από το γινόμενο το 1 και με διαβάσεις ανάποδα τότε με βρήκες.

Ποιος είμαι?

3 σχόλια

  1. ΚΔ

    Aν 100γ+10β+α ο ανάποδος τότε προσθέτοντας 1 παίρνω τον 100γ+10β+α+1 και διαιρώντας με 2 τον 50γ+5β+(α+1)/2 που πρέπει να είναι ο ζητούμενος δηλαδή ο 100α+10β+γ. Η ισότητα αυτή δίνει 98γ+1=10β+199α. Ισχύουν οι περιορισμοί α περιττό ψηφίο (αφού του προσθέτω 1 και διαιρείται με 2) μικρότερο του 5 (αφού το max του 98γ+1 είναι 883) και γ μεγαλύτερο ίσο του 2. Για α=1 το 2ο μέλος της προηγούμενης ισότητας τελειώνει σε 9 και η μόνη εξεταστέα περίπτωση για γ=6 απορρίπτεται. Για α=3 το 2ο μέλος τελειώνει σε 7 και ταιριάζει το γ=7 και β=9. Άρα ο ζητούμενος είναι ο 397.

  2. Carlo de Grandi

    Ο τριψήφιος αριθμός είναι ο 397. Έστω ότι ο ζητούμενος τριψήφιος αριθμός είναι ο xyz που είναι της μορφής (100x+10y+z) και ο αντίστροφός του είναι zyx που είναι της μορφής ()100z+10y+x). Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
    2*(100x+10y+z)-1=100z+10y+x — 200x+20y+2z-1=100z+10y+x —
    200x+20y+2z-1-100z-10y-x=0 —- 199x+10y-98z-1=0 (1)
    Oι δυνατές τιμές του x είναι 1,2,3,4 Το 0 αποκλείεται γιατί ο αριθμός τότε θα ήταν διψήφιος και τιμές >4 επίσης αποκλείονται, γιατί τότε το διπλάσιο του xyz θα ήταν >999 δηλαδή τετραψήφιος αριθμός.
    Δοκιμές:
    (α) Για x=1 η (1) γίνεται:
    10y-98z+198=0
    Αυτή μετασχηματίζεται στις: y=49t+39 και z=5t+6 , t ακέραιος. Είναι φανερό ότι δεν υπάρχει t που να μας δίνει 0<y<10, άρα η x=1 δεν κάνει.
    (β) Για x=2 η (1) γίνεται:
    199x+10y-98z-1=0 — (199*2)+10y-98z-1=0 — 398+10y-98z-1 —
    10y-98z+397=0 (2)
    Δεν υπάρχουν γι’ αυτή ακέραιες λύσεις.
    (γ) Για x=3 η (1) γίνεται:
    199x+10y-98z-1=0 — (199*3)+10y-98z-1=0 —
    597+10y-98z-1 =0 — 10y-98z+596=0 (2)
    Αυτή μετασχηματίζεται στις: y=49t+9 και z=5t+7 , t ακέραιος.
    Για t=0 έχουμε τις αποδεκτές λύσεις για το επιτρεπόμενο εύρος τιμών
    y=49t+9 — y=(49*0)+9 — y=0+9 —- y=9
    z=5t+7 — z=(5*0)+7 —- z=0+7 —- z=7
    (δ) Για x=4 η (1) γίνεται:
    199x+10y-98z-1=0 —- (199*4)+10y-98z-1=0 —-
    796+10y-98z-1=0 —- 10y-98z+795=0 (2)
    Δεν υπάρχουν γι' αυτή ακέραιες λύσεις.
    Επομένως μοναδική λύση είναι μόνο η (γ) 10y-98z+596=0 (2).
    10y-98z+596=0 —- 10y=98z-596 — y=(98z-596)/10 (3)
    Διερεύνηση:
    Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο "z" τις τιμές από το 1 έως το 9, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό "y" είναι ο αριθμός 7 και μόνο. Αντικαθιστούμε την τιμή «z» στην (3) κι’ έχουμε:
    y=(98z-596)/10— y=[(98*7)-596/10 – y=686-596/10 — y=70/10 — y=7
    Επαλήθευση:
    2*(100x+10y+z)-1=100z+10y+x —-
    2*[(100*3)+(10*9)+7)-1=(100*7)+10*9)+3 —
    2*(300+90+7)-1=700+90+3 —- ( 2*397)-1=793 —-
    794-1=793

Απάντηση