Εν έτη 1225, ο αυτοκράτορας Φρειδερίκος ο 2ος Χοχενστάουφεν (1194-1250) ταξίδεψε μέχρι την Πίζα της Ιταλίας συνοδευόμενος από ένα επιτελείο διακεκριμένων μαθηματικών της εποχής , να διαπιστώσει ιδίοις όμμασι , αν ο Leonardo Fibonacci ήταν αντάξιος της φήμης του. Τον υπέβαλλε λοιπόν σε μια δημόσια μαθηματική εξέταση. Ο Fibonacci με ευκολία έλυσε κάθε πρόβλημα που του τέθηκε και δικαίωσε την μαθηματική του φήμη.
Ένα από τα προβλήματα αυτού του…διαγωνίσματος ,ήταν το εξής :
« Να βρεθεί ένα τέλειο τετράγωνο , τέτοιο ώστε , είτε αφαιρέσουμε 5 μονάδες, είτε προσθέσουμε 5 μονάδες να παραμένει τέλειο τετράγωνο.»
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
134. Ο μαθηματικός και ιστορικός των μαθηματικών G. N. Popov, στο βιβλίο του: «Ιστορικά Προβλήματα» (1932)
παρουσιάζει μια λύση του προβλήματος, εικάζοντας τον τρόπο λύσης του Fibonacci.
Έστω α^2 ο ζητούμενος αριθμός , τότε από υπόθεση θα ισχύει:
α^2+5=β^2
α^2-5=γ^2
Αφαιρούμε κατά μέλη :
Και προκύπτει: β^2 – γ^2 = 10
Αλλά ο αριθμός 10 γράφεται: 10 = (80 x 18)/12^2,όμως
β^2 – γ^2=(β-γ)(β+γ)
(Ταυτότητα διαφοράς τετράγωνων)
(β-γ)(β+γ)= (80 x 18)/12^2 –> (β-γ)(β+γ)= (80/12) x ( 18/12) –>
β-γ =18/12
β+γ =80/12
Λύνοντας το σύστημα έχουμε : β=49/12, γ=31/12
Άρα α^2=(1681/144)=(41/12)^2
Πραγματικά επαληθεύοντας ,προκύπτει:
(1681/144)+5= 2401/144=(49/12)^2
(1681/144)-5= 961/144=(31/12)^2
Και μία φανταστική λύση:
Το 4.
4=2^2 , 4+5=9 και 4-5= -1= i^2 !!!