Ο γρίφος της Εβδομάδας – “Οι Ηλικίες”

...3

 Πέντε φίλοι, οι Αντωνία, Ηλίας, Βασίλης, Γιάννης και Κατερίνα έχουν γενέθλια την ημέρα των Χριστουγέννων και κανένας τους δεν έχει φτάσει τα 90 έτη.

Τα περασμένα Χριστούγεννα ηλικία της Κατερίνας διέφερε από την  ηλικία του Βασίλη  τα τριπλάσια χρόνια από ότι διέφερε από την ηλικία του Ηλία, και η ηλικία του Γιάννη  ήταν κατά  10% μικρότερη από την ηλικία του  Ηλία και 20% μεγαλύτερη από την ηλικία  του Βασίλη.

H διαφορά των ηλικιών  της Αντωνίας  και της Κατερίνας ισούται με την διαφορά ηλικίας  του Γιάννη και του Βασίλη και μάλιστα κατά τον ίδιο τρόπο. Να βρεθούν οι ηλικίες τους.

3 σχόλια

  1. ΚΔ

    Aν α,η,β,γ,κ οι ηλικίες των Α,Η,Β,Γ,Κ φέτος θα ισχύει
    κ-1-(β-1)=κ-β=3(κ-η), 2κ+β=3η (1)
    γ-1=0,9(η-1)
    γ=0,9η+0,1 (2)
    γ-1=1,2(β-1), γ=1,2β-0,2 (3)
    α-κ=γ-β (4)
    Επί 10 τη (2) και λύνω τη διοφαντική 10γ-9η=1 με ακέραιες λύσεις (1-9τ,1-10τ), τ ακέραιος, που για το διάστημα (0,90) δίνει αποδεκτή λύση για τ=-4 την γ=37, η=41.Από τις υπόλοιπες σχέσεις παίρνω β=31, κ=46, α=52.

  2. Β. Γ.

    Απάντηση
    Εστωσαν Α ηλικία Αντωνίας , Η ηλικία Ηλία , Β ηλικία Βασίλη , Γ ηλικία Γιάννη και Κ ηλικία Κατερίνας . Όλες μικρότερες των 90 ετών και επειδή αναφερόμαστε σε ημερομηνία γενεθλίων , προφανώς είναι ακέραιοι . Έτσι απο τα δεδομένα του προβλήματος , προκύπτουν τα παρακάτω
    1. | Κ – Β | = 3*| Κ – Η |
    2. Γ = 0,9*Η , Γ = 1,2*Β >Β απο όπου έπονται ότι Η = 4/3*Β και Γ > Β
    3. Α – Κ = Γ – Β = 0,2*Β λόγω της 2
    Απο την 2 και επειδή Γ ακέραιος και <90 , αποδεκτές τιμές των Η , Β είναι .
    Η = 40 , Β = 30 και κατα συνεπεια Γ = 36 .
    Η λύση τωρα της 1 , αντικαθιστώντας και την τιμή του Η απο την 2 , δίνει αποδεκτές τιμές του Κ τις
    Κ = 5/4*Β ή Κ = 3/2*Β και επειδή πρέπει Κ ακέραιος και Β = 30 , αποδεκτή τιμή του Κ είναι η
    Κ = 3/2*30 = 45
    Τέλος απο την 3 προκύπτει Α = Κ + 0,2*Β = 45 + 6 = 51
    Όλες οι παραπάνω τιμές των ηλικιών αφορούν τα περασμένα Χριστούγεννα . Έτσι οι τωρινές ηλικίες και με τη σειρά , είναι προσθέτοντας συν 1 χρόνο .
    Β = 31 , Γ = 37 , Η = 41 , Κ = 46 , Α = 52

  3. Carlo de Grandi

    Οι ηλικίες των πέντε φίλων είναι:
    Αντωνίας 52 ετών.
    Κατερίνα 46 ετών
    Ηλίας 41 ετών
    Γιάννης 37 ετών.
    Βασίλης 31 ετών.
    Έστω:
    Α: Η ηλικία της Αντωνίας
    Η: Η ηλικία του Ηλία.
    Β:Η ηλικία του Βασίλη.
    Γ:Η ηλικία =του Γιάννη
    Κ:Η ηλικία της Κατερίνας
    Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε τις εξής εξισώσεις:
    Κ-Β=3*(Κ-Η) (1)
    Γ-1=(100/100-10/100)*(Η-1) — Γ-1=(90/100)*(Η-1 (2)
    Γ-1=(100/100+20/100)*(Β-1) — Γ-1=(120/100)*(Β-1 (3)
    Α-Κ=Γ-Β (4)
    Από την (1) συνάγουμε ότι:
    Κ-Β=3*(Κ-Η) — Κ-Β=3Κ-3Η — 3Η-Β=3Κ-Κ —- 3Η-Β=2Κ
    Β=3Η-2Κ (5)
    Από την (2) συνάγουμε ότι:
    Γ-1=(90/100)*(Η-1) — Γ=(9/10)*(Η-1)+1 –
    Γ=9*(Η-1)/10-1(0*1)/10 — Γ=(9Η-9+10)/10 —
    Γ=(9Η+1)/10 (6)
    Αντικαθιστούμε στην (3) τίς τιμές Γ και Β με τις (5) και (6) κι’ έχουμε:
    Γ-1=(120/100)*(Β-1) —- (9Η+1)/10-1=(12/10)*3Η-2Κ-1) —
    9Η+1)-10/10-1=(12(*3Η-2Κ-)1/10) —
    9Η+1-10=(10*[12(*3Η-2Κ-1)]/10) —
    9Η-9=[12(*3Η-2Κ-1) — 9Η-9=36Η-24Κ-12 —
    24Κ=36Η-9Η+9-12 — 24Κ=27Η-3
    Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το 3 κι’ έχουμε:
    24Κ/3=27Η/3-3/3 —- 8Κ=9Η-1 —- Κ=(9Η-1)/8 (7)
    Αντικαθιστούμε την (7) στην (5) κι’ έχουμε:
    Β=3Η-2Κ — Β=3Η-2*(9Η-1)/8 —- Β=3Η-(9Η-1)/4 —
    Β=(4*3Η)/4-(9Η-1)/4 — Β=(12Η-9Η+1)/4 —-
    Β=(3Η+1)/4 (8)
    Από την (4) συνάγουμε ότι:
    Α-Κ=Γ-Β — Α=Κ+Γ-Β (9)
    Αντικαθιστούμε τις τιμές (6), (7) και (8) στην (9) κι’ έχουμε:
    Α=Κ+Γ-Β — Α=(9Η-1)/8+(9Η+1)/10-(3Η+1)/4 —-
    Α=5*(9Η-1)/40+4*(9Η+1)/40-10*(3Η+1)/40 —-
    Α=(45Η-5)/40+(36Η+4)/40-(30Η+10)/40 —-
    Α=(81Η-30Η-5+4-10)/40 —- Α=(51Η-11)/40 —–
    Α=(40Η+11Η-11)/40 —- Α=40Η/40+(11Η-11)/40 —
    Α=Η+11*(Η-1)/40 (10)
    Από την (10) συνάγουμε ότι το (Η-1)είναι πολλαπλάσιο του 40, οπότε θα έχουμε:
    Η-1=40 —- Η=40+1 —– Η =41
    Ή
    Η-1=80 —— Η=80+1 —- Η=81
    (α) Για Η=41:
    Από την (6) έχουμε:
    Γ=(9Η+1)/10 —- Γ=(9*41+1)/10 —- Γ=(369+1)/10 —–
    Γ=370/10 —— Γ=37 ετών
    Από την (7) έχουμε:
    Κ=(9Η-1)/8 —- Κ=(9*41-1)/8 —– Κ=(369-1)/8 —–
    Κ=368/8 —— Κ=46 ετών
    Από την (8) έχουμε:
    Β=(3Η+1)/4 —-Β=(3*41+1)/4 —– Β=(123+1)/4 —–
    Β=124/4 —– Β=31 ετών
    Από την (10) έχουμε:
    Α=Η+11*(Η-1)/40 —- Α=41+11-(41-1)/40 —–
    Α=41+11*(40/40) —– Α=41+11*1 —– Α=41+11 —–
    Α=52 ετών
    (β) Για Η=81
    Από την (6) έχουμε:
    Γ=(9Η+1)/10 —- Γ=(9*81+1)/10 —- Γ=(729+1)/10 —–
    Γ=730/10 —— Γ=73 ετών
    Από την (7) έχουμε:
    Κ=(9Η-1)/8 —- Κ=(9*81-1)/8 —– Κ=(729-1)/8 —–
    Κ=728/8 —— Κ=91 ετών, Κ=91>90 Άτοπο.
    Λόγω του ότι εξ ‘ ορισμού αναφέρεται στην εκφώνηση:
    «…κανένας από τους 5 φίλους δεν έφτασε τα 90 έτη.»
    Από την (8) έχουμε:
    Β=(3Η+1)/4 —-Β=(3*81+1)/4 —– Β=(243+1)/4 —–
    Β=244/4 —– Β=61 ετών
    Από την (10) έχουμε:
    Α=Η+11*(Η-1)/40 —- Α=81+11-(81-1)/40 —–
    Α=81+11*(80/40) —– Α=81+11*2 —– Α=81+22 —–
    Α=103 ετών, Α=103>90 Άάτοπο.
    Λόγω του ότι εξ ‘ ορισμού αναφέρεται στην εκφώνηση:
    «…κανένας από τους 5 φίλους δεν έφτασε τα 90 έτη.»
    Επαλήθευση:
    Κ-Β=3*(Κ-Η) – 46-31=3*(46-41) — 15=3*5
    Γ-1=(90/100)*(Η-1) —- 37-1=(9/10)(41-1) —–
    36=0,9*40 — 36=36
    Γ-1=(120/100)*(Β-1) —- 37-1=(12/10)*(31-1) —-
    36=1,2*30 —- 36=36
    Α-Κ=Γ-Β —– 52-46=37-31 —– 6=6

Απάντηση