Όταν ρωτήθηκε ο πρόεδρος των συνδικαλιστών του κλάδου των σιδηροδρομικών για την συμμέτοχη των σιδηροδρομικών στην απεργία της Τετάρτης (6-11-2013). Ο πρόεδρος απάντησε ως εξής:
– «Το πλήθος των απεργών είναι ένας τετραψήφιος αριθμός και είναι τέλειο τετράγωνο. Εάν αυξήσουμε όλα τα ψηφία του κατά μια μονάδα, τότε ο νέος αριθμός που προκύπτει είναι επίσης ένα τέλειο τετράγωνο!»
Πόσοι ήταν οι απεργοί που έλαβαν μέρος στην απεργία των σιδηροδρομικών;
(Crux Mathematicorum)
Aν αβγδ ο αριθμός των απεργούντων, θα είναι 1000α+100β+10γ+δ=p^2 και 1000(α+1)+100(β+1)+10(γ+1)+δ+1=q^2 και 1111=(q-p)(q+p)=11*101. H περίπτωση q+p=1111, q-p=1 αποκλείεται γιατί δίνει p=555 με τετράγωνο όχι τετραψήφιο. Άρα q+p=101, q-p=11 με λύση q=56, p=45. Άρα οι απεργούντες είναι 45^2=2025.
Έστω a2 ο τετραψήφιος αριθμός των απεργών και β2 ο τετραψήφιος αριθμός με αυξημένα κατά ένα τα ψηφία του a2. Αν αυξήσουμε κατά ένα τα ψηφία ενός τετραψήφιου αριθμού, ο αριθμός που προκύπτει είναι μεγαλύτερος του αρχικού κατά 1.111. Οπότε έχουμε:
β2-a2=1.111, ή ισοδύναμα:
(β+α)*(β-α)=11*101.
Επειδή οι 11 και 101 είναι πρώτοι μεταξύ τους, διότι διαιρούνται μόνο με την μονάδα και τον εαυτότ τους, έχουμε τις εξισώσεις:
β+α=101 (1)
β-α=11 (2)
Από την (1) συνάγουμε ‘οτι:
Β+α=101 — β=101-α (3)
Αντικαθιστούμε την (3) στη (2) κι΄έχουμε:
β-α=11 – 101-α-α=11 —-101-11=α+α —
2α=90 – α=90/2 – α=45 (4)
Αντικαθιστούμε την (4) στη (3) κι’ έχουμε:
Β=101-α — β=101-45 — β=56
Οι απεργοί ήταν
a2=45^2=2.025
Επαλήθευση:
β+α=101 —-56+45=101
β-α=11 —- 56-45=11
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.com/2014/10/blog-post_64.html